Произведе́ние ме́р в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — формальный способ построить меру на декартовом произведении двух пространств с мерами.
Построение
Пусть
— два пространства с мерами. Тогда
— декартово произведение множеств
и
.
является семейством подмножеств
. Оно, вообще говоря, не замкнуто относительно счётных объединений, и следовательно не является
-алгеброй. Введём обозначение

— минимальная
-алгебра, содержащая
. Тогда
— измеримое пространство. Определим на нём меру
следующим образом:

Тогда
продолжается единственным образом с
на
:

или

где
— сечение
вдоль
, а
— сечение
вдоль
.
Получившаяся мера
называется произведением мер
и
. Пространство с мерой
называется (прямым) произведением исходных пространств.
Замечания
- Если
— два вероятностных пространства, то
называется их произведением. - Если
— случайные величины, то
— распределения на
и
соответственно, а
— распределение на
случайного вектора
. Если
— независимы, то

Пример
Мера Лебега
на
может быть получена как произведение
одномерных мер Лебега
на
:

где
обозначает борелевскую
-алгебру на пространстве
, и

См. также