Производящая функция моментов

Производя́щая фу́нкция моме́нтов — способ задания вероятностных распределений. Используется чаще всего для вычисления моментов.

Пусть есть случайная величина ${\displaystyle X}$ с распределением ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$. Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид:

${\displaystyle M_{X}(t)=\mathbb {E} \left[e^{tX}\right]}$.

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение производящей функции моментов можно переписать в виде:

${\displaystyle M_{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,\mathbb {P} ^{X}(dx)}$,

то есть производящая функция моментов — это двустороннее преобразование Лапласа плотности распределения случайной величины (с точностью до отражения).

Если случайная величина ${\displaystyle X}$ дискретна, то есть ${\displaystyle \mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i=1,2,\ldots }$, то

${\displaystyle M_{X}(t)=\sum _{i=1}^{\infty }e^{tx_{i}}\,p_{i}}$.

Пример. Пусть ${\displaystyle X}$ имеет распределение Бернулли. Тогда

${\displaystyle M_{X}(t)=e^{t\cdot 1}\cdot p+e^{t\cdot 0}\cdot q=pe^{t}+q}$.

Если случайная величина ${\displaystyle X}$ абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность ${\displaystyle f_{X}(x)}$, то

${\displaystyle M_{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,f_{X}(x)\,dx}$.

Пример. Пусть ${\displaystyle X\sim U[0,1]}$ имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда

${\displaystyle M_{X}(t)=\int \limits _{0}^{1}e^{tx}\cdot 1\,dx=\left.{\frac {e^{tx}}{t}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {e^{t}-1}{t}}}$.

Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам характеристических функций в силу похожести их определений.

• Производящая функция моментов однозначно определяет распределение. Пусть ${\displaystyle X,Y}$ суть две случайные величины, и ${\displaystyle M_{X}(t)=M_{Y}(t),\;\forall t}$. Тогда ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}=\mathbb {P} ^{Y}}$. В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение функций вероятности.
• Производящая функция моментов как функция случайной величины однородна:

${\displaystyle M_{aX}(t)=M_{X}(at),\;\forall a\in \mathbb {R} }$.

• Производящая функция моментов суммы независимых случайных величин равна произведению их производящих функций моментов. Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ есть независимые случайные величины. Обозначим ${\displaystyle S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}$. Тогда

${\displaystyle M_{S_{n}}(t)=\prod \limits _{i=1}^{n}M_{X_{i}}(t)}$.

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}M_{X}(t)\right\vert _{t=0}}$.

• Моменты случайной величины
• Характеристическая функция случайной величины