Производящий функционал

Производящий функционал — расширение понятия производящей функции моментов для одномерного / конечномерного распределения Гаусса на континуальное распределение Гаусса.

Производящий функционал корреляционных функций ${\displaystyle G(A)}$ определяется следующим образом:

${\displaystyle G(A)=\langle \exp \left\{\int \limits _{\Omega }\!\mathrm {d} X\,A_{I}(X)\varphi _{I}(X)\right\}\rangle ,}$

где ${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$ — усреднение по ансамблю. Без сокращений определение производящего функционала для нормированного на 1 континуального распределения Гаусса с квадратичной формой ${\displaystyle K}$ выглядит следующим образом:

${\displaystyle G(A)=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{1/2}\cdot \int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)+\left(A,\varphi \right)\right\}}$.

Однако же, обычно это определение записывают в сокращённом виде, опуская значки и интегрирования:

${\displaystyle G(A)=\langle e^{A\varphi }\rangle .}$

Поскольку определение корреляционных функций выглядит следующим образом:

${\displaystyle G_{n}(X_{1},X_{2},\dots X_{n})=\langle \varphi (X_{1})\varphi (X_{2})\dots \varphi (X_{n})\rangle ,}$

связь между производящим функционалом и корреляционными функциями получается:

${\displaystyle G_{n}(X_{1},X_{2},\dots X_{n})=\left[{\frac {\delta }{\delta A(X_{1})}}{\frac {\delta }{\delta A(X_{2})}}\dots {\frac {\delta }{\delta A(X_{n})}}G(A)\right]_{A=0},}$

где ${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta A}}}$ — вариационная производная. Данная формула является полной аналогией формулы вычисления моментов через производящую функцию моментов для конечномерного распределения Гаусса.

Для континуальных интегралов выполняется следующая формула:

${\displaystyle \int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)+\left(A,\varphi \right)\right\}=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{-1/2}\exp \left\{{\frac {(A,K^{-1}A)}{2}}\right\}}$.

Видно, что её левая часть — определение (с точностью до нормировки) производящего функционала ${\displaystyle G(A)}$. Тогда для парной корреляционной функции получим

${\displaystyle G_{2}(X_{1},X_{2})=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{1/2}\cdot \left[{\frac {\delta }{\delta A(X_{1})}}{\frac {\delta }{\delta A(X_{2})}}\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{-1/2}\exp \left\{{\frac {(A,K^{-1}A)}{2}}\right\}\right]_{A=0}=K^{-1}(X_{1},X_{2}).}$

То есть

${\displaystyle G_{2}(X_{1},X_{2})=\langle \varphi (X_{1})\varphi (X_{2})\rangle =K^{-1}(X_{1},X_{2}).}$

Ясно, что определённый так как приведено выше функционал

${\displaystyle G(A)=\langle e^{A\varphi }\rangle }$

сохранит производящие свойства и для других распределений не зависящих от параметра ${\displaystyle A}$. Поскольку существует целый класс физических теорий, плотность распределения ${\displaystyle \rho [\varphi ]}$ в которых задаётся «почти квадратичным» функционалом действия ${\displaystyle S[\varphi ]}$:

${\displaystyle \rho [\varphi ]=C\cdot e^{-S[\varphi ]},}$

${\displaystyle S[\varphi ]={\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)+V[\varphi ],}$

где ${\displaystyle V[\varphi ]}$ — мало, для них определяются собственные производящие функционалы с разным физическим смыслом. Они называются производящими функционалами функций Грина. Среди них: производящий функционал полных функций Грина

${\displaystyle G(A)={\frac {\int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-S[\varphi ]+\left(A,\varphi \right)\right\}}{\int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)\right\}}},}$^[1]

связных функций Грина

${\displaystyle W(A)=\ln G(A),}$^[1]

и 1-неприводимых функций Грина

${\displaystyle \Gamma (\alpha )=W(A(\alpha ))-\alpha A,\ \alpha (x)={\frac {\delta W(A)}{\delta A(x)}}.}$^[2]

Свои названия они получили из-за того, что их разложение согласно теории возмущений по малому параметру (т. н. константе связи) ${\displaystyle g\sim V[\varphi ]}$ в диаграммном представлении состоит для ${\displaystyle G(A)}$ из всех возможных для данной теории диаграмм, для ${\displaystyle W(A)}$ только из связных, а для ${\displaystyle \Gamma (\alpha )}$ только из 1-неприводимых.

• Теорема Вика для функционального интеграла
• Континуальное распределение Гаусса
• Функциональный интеграл

• Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — Издательство Петербургского института ядерной физики (ПИЯФ), 1998. — ISBN 5-86763-122-2.