Простое число Эйзенштейна

Наименьшие простые числа Эйзенштейна. Точки на зеленых осях соответствуют натуральным простым числам вида $3k-1$ . Все остальные, возведённые в квадрат, дают натуральное простое.

Простое число Эйзенштейна — число Эйзенштейна:

z=a+b\omega \qquad (\omega =e^{2\pi i/3})

являющееся неприводимым (или, эквивалентно, простым) элементом Z[ω] в смысле теории колец.

Умножение на обратимый элемент и сопряжение любого простого числа Эйзенштейна также является простым числом Эйзенштейна.

Целое число Эйзенштейна $z=a+b\omega$ является простым числом Эйзенштейна тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих взаимоисключающих условий:

$z$ является произведением обратимого элемента на натуральное простое вида $3k-1$ ,
$N(z)=a^{2}-ab+b^{2}$ является натуральным простым, сравнимым с 0 (то есть равным 3) или 1 по модулю 3.

Несколько первых простых чисел Эйзенштейна, равных натуральным простым $3k-1$ :

2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101 (последовательность A003627 в OEIS).

Все натуральные простые, сравнимые с 0 или 1 по модулю 3, не являются простыми Эйзенштейна: они разложимы на нетривиальные множители в Z[ω]. Примеры:

3=(1-\omega )(1+\omega ^{2})=-(1+2\omega )^{2}

7=(3+\omega )(2-\omega )

Несколько простых чисел Эйзенштейна, не являющихся натуральными:

2+\omega ,\,3+\omega ,\,4+\omega ,\,5+2\omega ,\,6+\omega ,\,7+\omega ,\,7+3\omega

С точностью до сопряжения и умножения на единицы, приведенные выше числа, вместе с 2 и 5, — это все простые числа Эйзенштейна, не превосходящие по абсолютному значению 7.

По состоянию на 2017 год наибольшим известным действительным простым числом Эйзенштейна является 10223 × 2^31172165 + 1, открытое проектом PrimeGrid^[1].

Все большие известные простые являются простыми числами Мерсенна и были найдены с помощью GIMPS. Действительные простые Эйзенштейна сравнимы с 2 по модулю 3, а простые числа Мерсенна (за исключением наименьшего и них, 3) сравнимы с 1 по модулю 3. Таким образом, никакое простое число Мерсенна не является простым числом Эйзенштейна.

См. также

Гауссовы целые числа

Ссылки

↑ Chris Caldwell, «The Top Twenty: Largest Known Primes Архивная копия от 12 июня 2018 на Wayback Machine» from The Prime Pages. Retrieved 2017-03-14.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Простое число</span> натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя

Просто́е число́ — натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя. Другими словами, натуральное число $\text{[math]}$ является простым, если оно отлично от $\text{[math]}$ и делится без остатка только на $\text{[math]}$ и на само $\text{[math]}$ .

Ко́мпле́ксные чи́сла — числа вида $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ — вещественные числа, $\text{[math]}$ — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: $\text{[math]}$ Множество комплексных чисел обычно обозначается символом $\text{[math]}$ Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид $\text{[math]}$ Главное свойство $\text{[math]}$ — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен $\text{[math]}$ -й степени имеет $\text{[math]}$ корней. Доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.

Сравне́ние двух целых чисел по мо́дулю натурального числа $\text{[math]}$ — математическая операция, позволяющая ответить на вопрос о том, дают ли два выбранных целых числа при делении на $\text{[math]}$ один и тот же остаток. Любое целое число при делении на $\text{[math]}$ даёт один из $\text{[math]}$ возможных остатков: число от 0 до $\text{[math]}$ ; это значит, что все целые числа можно разделить на $\text{[math]}$ групп, каждая из которых отвечает определённому остатку от деления на $\text{[math]}$ . Эти группы называются классами вычетов по модулю $\text{[math]}$ , а содержащиеся в них целые числа — вычетами по модулю $\text{[math]}$ .

По́ле в общей алгебре — множество, для элементов которого определены операции сложения, взятия противоположного значения, умножения и деления, причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Элементы поля не обязательно являются числами, поэтому, несмотря на то, что названия операций поля взяты из арифметики, определения операций могут быть далеки от арифметических.

А́белева гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа $\text{[math]}$ абелева, если $\text{[math]}$ для любых двух элементов $\text{[math]}$ .

Преобразование Фурье́ — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

p-адическое число — теоретико-числовое понятие, определяемое для заданного фиксированного простого числа p как элемент расширения поля рациональных чисел. Это расширение является пополнением поля рациональных чисел относительно p-адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на p.

Целыми алгебраическими числами называются комплексные корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.

Характер, это определённая арифметическая функция, которая возникает из вполне мультипликативных характеров на обратимых элементах $\text{[math]}$ . Характеры Дирихле используются для определения L-функций Дирихле, которые являются мероморфными функциями со множеством интересных аналитических свойств. Если $\text{[math]}$ является характером Дирихле, его L-ряд Дирихле определяется равенством

\text{[math]}

Изоморфизм групп — взаимно-однозначное соответствие между элементами двух групп, сохраняющее групповые операции. Если существует изоморфизм между двумя группами, группы называются изоморфными. С точки зрения теории групп изоморфные группы имеют одни и те же свойства и их можно не различать.

<span class="mw-page-title-main">Порядковое число</span> порядковый тип вполне упорядоченного множества

В теории множеств порядковым числом, или ординалом называется порядковый тип вполне упорядоченного множества. Как правило, порядковые числа отождествляются с наследственно транзитивными множествами. Ординалы представляют собой одно из расширений натуральных чисел, отличающееся как от целых, так и от кардинальных чисел. Как и другие разновидности чисел, их можно складывать, перемножать и возводить в степень. Бесконечные порядковые числа называют трансфинитными. Ординалы играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств — в частности, благодаря связанному с ними принципу трансфинитной индукции.

Алгоритм Адлемана — первый субэкспоненциальный алгоритм дискретного логарифмирования в кольце вычетов по модулю простого числа. Алгоритм был предложен Леонардом Максом Адлеманом в 1979 году. Леонард Макс Адлеман — американский учёный-теоретик в области компьютерных наук, профессор компьютерных наук и молекулярной биологии в Университете Южной Калифорнии. Он известен как соавтор системы шифрования RSA и ДНК-вычислений. RSA широко используется в приложениях компьютерной безопасности, включая протокол HTTPS.

Характер кубического вычета — теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета. Также является характером в простом поле.

Га́уссовы це́лые чи́сла — это комплексные числа, у которых как вещественная, так и мнимая часть — целые числа.

Ба́наховой алгеброй над комплексным или действительным полем называется ассоциативная алгебра, являющаяся при этом банаховым пространством. При этом умножение в ней должно быть согласовано с нормой:

\text{[math]}

Число Эйзенштейна — комплексное число вида:

\text{[math]}

В теории чисел простым числом Вифериха называется простое число $\text{[math]}$ , такое, что $\text{[math]}$ делит $\text{[math]}$ , что является усилением утверждения малой теоремы Ферма, утверждающей, что любое нечетное простое $\text{[math]}$ делит $\text{[math]}$ . Эти простые числа впервые описаны Артуром Виферихом в 1909-м году в работе, относящейся к великой теореме Ферма. К тому времени обе теоремы Ферма были хорошо известны математикам.

Квадратичное поле — алгебраическое числовое поле степени 2 над $\text{[math]}$ . Можно доказать, что отображение $\text{[math]}$ задаёт биекцию между множеством свободных от квадратов целых чисел и множеством всех попарно неизоморфных квадратичных полей. Если $\text{[math]}$ квадратичное поле называется действительным, в противном случае — мнимым или комплексным.

Сюрреальные числа — обобщение обычных вещественных чисел и бесконечных порядковых чисел. Впервые были использованы в работах английского математика Джона Конвея для описания ряда аспектов теории игр.

Обратное по модулю целого a — это целое число x такое, что произведение ax эквивалентно 1 по модулю m. В стандартных обозначениях модульной арифметики эта эквивалентность записывается как:

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.