Пространство Орлича

Пространство Орлича — линейное нормированное пространство на множестве измеримых функций. Является обобщением пространств Лебега. Названы в честь развившего их теорию польского математика Владислава Орлича.

Определение

Определение 1

Пусть $M$ — некоторая фиксированная $N$ -функция^[1], а $N$ — дополнительная^[2] к ней $N$ -функция; $G$ — множество конечной меры.

Пространством Орлича $L_{M}^{*}$ называется совокупность всех измеримых функций $u(x)$ , удовлетворяющих условию $(u,v)=\int _{G}u(x)v(x)dx<\infty$ при всех $v(x)$ , таких что $\int _{G}N[u(x)]dx<\infty$ .

В пространстве Орлича задана норма Орлича: $\|u\|_{M}=\sup _{\rho (v,N)\leqslant 1}|\int _{G}u(x)v(x)dx|$ .

Определение 2

Пусть $M$ — некоторая фиксированная $N$ -функция.

Пространством Орлича $L_{M}^{*}$ называется множество всех измеримых функций $u(x)$ , имеющих конечную норму Люксембурга $\|u\|_{(M)}=\inf\{k:\int _{G}M\left({\frac {u(x)}{k}}\right)dx\leqslant 1\}.$

Эквивалентность определений

Норма Орлича и норма Люксембурга эквивалентны, а именно, для всякой $u$ выполнены неравенства $\|u\|_{(M)}\leqslant \|u\|_{M}\leqslant 2\|u\|_{(M)}.$

Таким образом, оба определения задают одно и то же пространство с одной топологией.

Свойства

$L_{M}^{*}$ — банахово пространство.

$L_{M}^{*}$ сепарабельно тогда и только тогда, когда функция $M$ удовлетворяет $\Delta _{2}$ -условию^[3].

Назовем классом Орлича $L_{M}$ множество таких измеримых функций, для которых $\int _{G}M[u(x)]dx<\infty .$ Пространство Орлича $L_{M}^{*}$ совпадает с классом Орлича $L_{M}$ тогда и только тогда, когда $M$ удовлетворяет $\Delta _{2}$ -условию.

Пространством $E_{M}$ назовем наибольшее линейное пространство, вложенное в $L_{M}$ . Если $M$ удовлетворяет $\Delta _{2}$ -условию, $E_{M}=L_{M}=L_{M}^{*}$ . В противном случае $E_{M}\varsubsetneq L_{M}\varsubsetneq L_{M}^{*}$ .

$E_{M}$ сепарабельно и является замыканием пространства непрерывных функций по норме Орлича.

$L_{M}^{*}$ является сопряженным пространством к $E_{N}$ , где $M$ и $N$ — дополнительные друг к другу $N$ -функции.

Если $M_{1}\prec M_{2}$ ^[4], то $L_{M_{2}}^{*}\subset L_{M_{1}}^{*}$ . Верно и обратное.

Примеры

Если $M(x)=|x|^{p},\ p\in (1,\infty )$ то $L_{M}^{*}=L_{p}$ .

Примечания

↑ $N$ — функцией называется функция M(u), допускающая представление $M(u)=\int _{0}^{|u|}p(t)dt$ , где $p(t)$ — положительная при $t>0$ , непрерывная справа при $t\geqslant 0$ , неубывающая функция, удовлетворяющая условиям: $p(0)=0,p(\infty )=\lim _{t\to \infty }p(t)=\infty$ .
↑ Взаимно дополнительными называются $N$ — функции $M(u),N(v)$ , удовлетворяющие уравнениям $M(u)=\int _{0}^{|u|}p(t)dt,N(v)=\int _{0}^{|v|}q(s)ds$ , где $p(t)$ — положительная при $t>0$ , непрерывная справа при $t\geqslant 0$ , неубывающая функция, удовлетворяющая условиям: $p(0)=0,p(\infty )=\lim _{t\to \infty }p(t)=\infty$ , а $q(s)$ определена при $s\geqslant 0$ равенством $q(s)=\sup _{p(t)\leqslant s}t$ .
↑ $\Delta _{2}$ -условие: $\exists x_{0}\ \exists k>0\forall x>x_{0}:\quad M(2x)\leqslant kM(x)$
↑ $M_{1}\prec M_{2}$ , если найдутся $x_{0}$ , $k$ такие, что $M_{1}(x)\leqslant M_{2}(x)\quad \forall x>x_{0}$