Пространство Орлича — линейное нормированное пространство на множестве измеримых функций. Является обобщением пространств Лебега. Названы в честь развившего их теорию польского математика Владислава Орлича.
Определение
Определение 1
Пусть
— некоторая фиксированная
-функция[1], а
— дополнительная[2] к ней
-функция;
— множество конечной меры.
Пространством Орлича
называется совокупность всех измеримых функций
, удовлетворяющих условию
при всех
, таких что
.
В пространстве Орлича задана норма Орлича:
.
Определение 2
Пусть
— некоторая фиксированная
-функция.
Пространством Орлича
называется множество всех измеримых функций
, имеющих конечную норму Люксембурга
Эквивалентность определений
Норма Орлича и норма Люксембурга эквивалентны, а именно, для всякой
выполнены неравенства 
Таким образом, оба определения задают одно и то же пространство с одной топологией.
Свойства
сепарабельно тогда и только тогда, когда функция
удовлетворяет
-условию[3].
- Назовем классом Орлича
множество таких измеримых функций, для которых
Пространство Орлича
совпадает с классом Орлича
тогда и только тогда, когда
удовлетворяет
-условию.
- Пространством
назовем наибольшее линейное пространство, вложенное в
. Если
удовлетворяет
-условию,
. В противном случае
.
является сопряженным пространством к
, где
и
— дополнительные друг к другу
-функции.
- Если
[4], то
. Верно и обратное.
Примеры
- Если
то
.
Примечания
- ↑
— функцией называется функция M(u), допускающая представление
, где
— положительная при
, непрерывная справа при
, неубывающая функция, удовлетворяющая условиям:
. - ↑ Взаимно дополнительными называются
— функции
, удовлетворяющие уравнениям
, где
— положительная при
, непрерывная справа при
, неубывающая функция, удовлетворяющая условиям:
, а
определена при
равенством
. - ↑
-условие: 
- ↑
, если найдутся
,
такие, что 
Литература
- Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича — М. : Физматлит, 1958. — С. 271.