Пространство дифференцируемых функций

Пространством дифференцируемых функций (пространством гладких функций, пространством непрерывно дифференцируемых функций) в функциональном анализе называют пространство всех заданных на компактном множестве ${\displaystyle \Omega \subset R^{n}}$ гладких функций с порядком гладкости ${\displaystyle k}$, где k — натуральное число (${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$). Обозначения: ${\displaystyle C^{k}}$, ${\displaystyle C^{k}(\Omega )}$ . Все функции из ${\displaystyle C^{k}}$ обладают непрерывными производными вплоть до ${\displaystyle k}$-го порядка включительно.

Пространством бесконечно-дифференцируемых функций (пространством бесконечно-гладких функций) называется множество^[1] всех определенных на компакте ${\displaystyle \Omega \subset R^{n}}$ функций, имеющих производные всех порядков. Обозначения: ${\displaystyle C^{\infty },C^{\infty }(\Omega )}$

Для любого ${\displaystyle k}$ пространство ${\displaystyle C^{k}(\Omega )}$ содержит в себе пространство ${\displaystyle C^{k+p}(\Omega ),\forall p\in \mathbb {N} }$, а также пространство ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$ в качестве своего подмножества: ${\displaystyle C^{1}\supset C^{2}\supset ...\supset C^{\infty }}$ .

• ${\displaystyle \forall k,C(\Omega )\supset C^{k}(\Omega )}$, где ${\displaystyle C(\Omega )}$ — пространство непрерывных функций.
• ${\displaystyle \forall k,C^{k}(\Omega )}$ — Банахово пространство. Норма в этом пространстве: ${\displaystyle \forall f\in C^{k}(\Omega ):\|f\|_{C^{k}}=\sum \limits _{l=0}^{k}\max _{x\in \Omega }|f^{(l)}(x)|}$, где ${\displaystyle f^{(0)}(x)=f(x)}$, ${\displaystyle f^{(l)}(x)={d^{l}f(x) \over dx^{l}}}$ .

Также эту норму можно записать в виде ${\displaystyle \|f\|_{C^{k}}=\sum \limits _{l=0}^{k}\|f^{(l)}\|_{C}}$ .