Прямая Александрова

Прямая Александрова (или длинная прямая) — топологическое пространство, один из основных контрпримеров, используемых в топологии^[1]: обычная вещественная прямая состоит из счётного числа отрезков ${\displaystyle [0,1)}$, расположенных друг за другом, а прямая Александрова строится из несчётного числа таких отрезков. Построена Павлом Александровым в 1924 году^[2].

Замкнутая прямая Александрова ${\displaystyle L}$ определяется как декартово произведение первого несчётного ординала ${\displaystyle \omega _{1}}$ и полуинтервала ${\displaystyle [0,1)}$, снабжённое топологией порядка (то есть её база — интервалы ${\displaystyle \{x\mid a<x<b\}}$), индуцированной лексикографическим порядком на ${\displaystyle \omega _{1}\times [0,1)}$. Открытая прямая получается удалением наименьшего элемента ${\displaystyle (0,0)}$.

Прямая Александрова равномощна вещественной прямой и является нормальным пространством, как и любое пространство с топологией порядка, однако обладает рядом необычных свойств. В частности, её топология неметризуема, она секвенциально компактна, но не компактна, линейно связна, локально связна и односвязна, но не стягиваема. Более того, прямая Александрова имеет структуру несепарабельного топологического многообразия^[3], несмотря на непаракомпактность, и удовлетворяет первой аксиоме счётности, но не второй. На ней также можно ввести структуру дифференцируемого^[4] и даже аналитического^[5] многообразия.