Прямая и обратная предельная теорема

Важнейшими с точки зрения приложений характеристических функций к выводу асимптотических формул теории вероятностей являются две предельные теоремы — прямая и обратная. Эти теоремы устанавливают, что соответствие, существующее между функциями распределения и характеристическими функциями, не только взаимно однозначно, но и непрерывно.

Если последовательность функций распределения ${\displaystyle F_{n}}$ слабо сходится к функции распределения ${\displaystyle F}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, то последовательность соответствующих характеристических функций ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}}$ сходится поточечно к характеристической функции ${\displaystyle f}$.

Иными словами

Если ${\displaystyle F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)}$, то ${\displaystyle f_{n}\left(t\right)\rightarrow f\left(t\right)}$ в каждой точке ${\displaystyle t}$.

Пусть последовательность характеристических функций ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}}$ сходится поточечно к функции ${\displaystyle f}$, непрерывной в точке 0. Тогда последовательность соответствующих функций распределения ${\displaystyle F_{n}}$ слабо сходится к функции ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle f}$ является характеристической функцией, соответствующей функции распределения ${\displaystyle F}$.

Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из второй теоремы Хелли и определения характеристической функции:

В качестве функции ${\displaystyle g}$ возьмем ${\displaystyle g\left(x\right)=e^{itx},x\in R}$, а на ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle t}$ смотрим как на параметры.

Поточечную сходимость последовательности характеристических функций в этой теореме можно заменить равномерной сходимостью на любом компакте из ${\displaystyle R}$.

Пусть ${\displaystyle F_{n}}$ — последовательность функций распределения соответствующих последовательности характеристических функций ${\displaystyle f_{n}}$. Из первой теоремы Хелли следует, что существует слабо сходящаяся подпоследовательность

${\displaystyle \left\{F_{n_{k}}\right\}\subset \left\{{F_{n}}\right\},}$ такая что ${\displaystyle F_{n_{k}}\Rightarrow F}$

Докажем, что ${\displaystyle F}$ является функцией распределения. Для этого достаточно показать, что ${\displaystyle F\left(+\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1}$

Для доказательства понадобится следующее неравенство: пусть ${\displaystyle \xi }$ произвольная случайная величина, ${\displaystyle f}$ — её характеристическая функция, тогда для любых ${\displaystyle \tau >0}$ и ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{\tau x}}}{1-{\frac {1}{\tau x}}}}}$

Положим ${\displaystyle \tau x=2}$, тогда неравенство примет вид

${\displaystyle P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{2}}}{1-{\frac {1}{2}}}}=2\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-1}$

Докажем неравенство ${\displaystyle P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{\tau x}}}{1-{\frac {1}{\tau x}}}}}$. Из определения характеристической функции и теоремы Фубини следует

${\displaystyle \left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|=\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }{\mathsf {M}}e^{it\xi }dt\right|=\left|{\frac {1}{2\tau }}{\mathsf {M}}\int _{-\tau }^{\tau }e^{it\xi }dt\right|=\left|{\frac {1}{2\tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \xi }}{\xi }}\right|=}$

${\displaystyle =\left|{\frac {1}{\tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \xi }}{\xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|\leq x\right\}}+\left|{\frac {1}{\tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \xi }}{\xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|>x\right\}}\leq {\mathsf {M}}\left|{\frac {\sin {\tau \xi }}{\tau \xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|\leq x\right\}}+{\mathsf {M}}\left|{\frac {\sin {\tau \xi }}{\tau \xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|>x\right\}}\leq P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)+{\frac {1}{\tau x}}\left(1-P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\right)}$

Так как функция ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle 0}$ и является поточечным пределом характеристических функций ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}}$, то ${\displaystyle f\left(0\right)=1}$ и для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такое ${\displaystyle \tau _{0}>0}$, что для всех ${\displaystyle \tau }$ удовлетворяющих неравенству ${\displaystyle 0<\tau \leq \tau _{0},}$ выполнено

${\displaystyle \left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|>1-{\frac {\varepsilon }{4}}}$

Из того, что ${\displaystyle f_{n}\rightarrow f}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ вытекает для всех ${\displaystyle n>n_{0}}$ и для ${\displaystyle \tau \in (0;\tau _{0}],}$

${\displaystyle \left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}}$

Из неравенств ${\displaystyle \left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|>1-{\frac {\varepsilon }{4}}}$ и ${\displaystyle \left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}}$ следует, что для любых ${\displaystyle n>n_{0}}$ и ${\displaystyle \tau }$, таких что ${\displaystyle 0<\tau \leq \tau _{0}}$

${\displaystyle \left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt\right|>1-{\frac {\varepsilon }{2}}}$

Из неравенств ${\displaystyle \left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt\right|>1-{\frac {\varepsilon }{2}}}$ и ${\displaystyle \left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}}$ имеем

${\displaystyle F_{n_{k}}\left({\frac {2}{\tau }}\right)-F{n_{k}}\left(-{\frac {2}{\tau }}-0\right)\geq P\left(\left|\varepsilon _{n_{k}}\right|\leq {\frac {\tau }{2}}\right)\geq 2\left(1-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)-1=1-\varepsilon }$,

для всех ${\displaystyle n>n_{0}}$ и ${\displaystyle 0<\tau \leq \tau _{0}}$. Из последнего неравенства в силу произвольности ${\displaystyle \tau }$ и ${\displaystyle \varepsilon }$ получаем

${\displaystyle F\left(+\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1}$

то есть ${\displaystyle F}$ — функция распределения. По прямой предельной теореме из доказанного следует

${\displaystyle f_{n_{k}}\left(t\right){\underset {n_{k}\rightarrow \infty }{\rightarrow }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}dF\left(x\right),t\in \mathbb {R} }$

Но по условию теоремы

${\displaystyle f_{n}\left(t\right){\underset {n\rightarrow \infty }{\rightarrow }}f\left(t\right),t\in \mathbb {R} }$

Следовательно

${\displaystyle f\left(t\right)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}dF\left(x\right)}$ — характеристическая функция, соответствующая функции распределения ${\displaystyle F}$

Докажем теперь, что

${\displaystyle F_{n}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Rightarrow }}F}$

Предположим противное, пусть

${\displaystyle F_{n}\nRightarrow F}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$. Тогда существует ${\displaystyle \left\{F_{m_{k}}\right\}\subset \left\{F_{n}\right\},F_{m_{k}}\Rightarrow F^{*},F^{*}\neq F}$, причем ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle F^{*}}$ — функции распределения

По прямой предельной теореме имеем

${\displaystyle f_{n_{k}}\left(t\right)\rightarrow f\left(t\right),f_{m_{k}}\left(t\right)\rightarrow f^{*}\left(t\right),k\rightarrow \infty }$

и по теореме единственности ${\displaystyle f\left(t\right)\neq f^{*}\left(t\right)}$, но этого не может быть, так как

${\displaystyle f_{n}\left(t\right){\underset {n\rightarrow \infty }{\rightarrow }}f\left(t\right)}$,

Следовательно

${\displaystyle f\left(t\right)=f^{*}\left(t\right)}$

Теорема доказана.

• Лазакович Н.В., Сташуленок С.П., Яблонский О.Л. Курс теории вероятностей. — 2003. — 322 с.
• Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. — 1982. — 244 с.

• Первая и вторая теоремы Хелли
• Теорема Леви о непрерывности