Ри́манова геоме́трия — раздел дифференциальной геометрии, главным объектом изучения которого являются римановы многообразия, то есть гладкие многообразия с дополнительной структурой, римановой метрикой, иначе говоря — с выбором евклидовой метрики на каждом касательном пространстве, причём эта метрика гладко меняется от точки к точке. Иногда, особенно часто в математической физике, под римановой геометрией подразумевают также и псевдориманову геометрию многообразий с псевдоримановой метрикой, например, геометрию пространства-времени специальной и общей теории относительности.
Риманово многообразие, или риманово пространство (M, g), — это (вещественное) гладкое многообразие M, в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, риманово многообразие — это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным евклидовым пространством.
Интервал в теории относительности — аналог расстояния между двумя событиями в пространстве-времени, являющийся обобщением евклидового расстояния между двумя точками. Интервал лоренц-инвариантен, то есть не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой, и, даже более, является инвариантом (скаляром) в специальной и общей теории относительности.
Свя́зность Леви-Чиви́ты — одна из основных структур на римановом многообразии. Даёт естественный способ дифференцировать векторные поля на римановом многообразии; эквивалентно заданию ковариантного дифференцирования, а также параллельного перенесения вдоль кривых. Названа в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты.
Простра́нство Минко́вского ― четырёхмерное псевдоевклидово пространство сигнатуры 
, предложенное в качестве геометрической интерпретации пространства-времени специальной теории относительности.
Метри́ческий те́нзор, или ме́трика, — симметричное тензорное поле ранга (0,2) на гладком многообразии, посредством которого задаётся скалярное произведение векторов в касательном пространстве. Иначе говоря, метрический тензор задаёт билинейную форму на касательном пространстве к этой точке, обладающую свойствами скалярного произведения и гладко зависящую от точки.
Классификация Петрова описывает возможные алгебраические симметрии тензора Вейля для каждого события на псевдоримановом многообразии.
Тензор Риччи, названный в честь итальянского математика Грегорио Риччи-Курбастро, задаёт один из способов измерения кривизны многообразия, то есть степени отличия геометрии многообразия от геометрии плоского евклидова пространства. Тензор Риччи, точно так же как метрический тензор, является симметричной билинейной формой на касательном пространстве риманова многообразия. Грубо говоря, тензор Риччи измеряет деформацию объёма, то есть степень отличия n-мерных областей n-мерного многообразия от аналогичных областей евклидова пространства (см. геометрический смысл тензора Риччи). Обычно обозначается 
или 
.
Псе́вдоевкли́дово простра́нство — конечномерное вещественное векторное или аффинное пространство с невырожденным индефинитным скалярным произведением, которое называют также индефинитной метрикой. Индефинитная метрика не является метрикой в смысле определения метрического пространства, а представляет собой частный случай метрического тензора.
Многообра́зие — локально евклидово пространство.
В этой статье рассматривается математический базис общей теории относительности.
Связность — структура на гладком расслоении, состоящая в выборе «горизонтального направления» в каждой точке пространства расслоения.
Симплектическая геометрия — область дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии, изучающая симплектические многообразия: гладкие многообразия с выбранной замкнутой невырожденной 2-формой.
Тензорное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие тензор.
Ковариа́нтность и контравариа́нтность — используемые в математике и в физике понятия, характеризующие то, как тензоры изменяются при преобразованиях базисов в соответствующих пространствах или многообразиях. Контравариантными называют «обычные» компоненты, которые при смене базиса пространства изменяются с помощью преобразования, обратного преобразованию базиса. Ковариантными — те, которые изменяются так же, как и базис.
Конформно плоское многообразие — риманово многообразие, каждая точка которого имеет окрестность, которая может быть конформно отображена на область евклидова пространства.
Изометрия — преобразование между метрическими пространствами, сохраняющая расстояния между точками.
Многообразие Эйнштейна — риманово или псевдориманово многообразие, тензор Риччи которого пропорционален метрическому тензору.
Список эпонимов, названных в честь немецкого математика, механика и физика Бернхарда Римана (1826—1866).
- Геометрия Римана — одна из трёх «великих геометрий», которые, помимо римановской, включают геометрию Евклида и геометрию Лобачевского.
- Гипотеза Римана — одна из проблем тысячелетия, сформулированная Бернхардом Риманом в 1859 году.
- Дзета-функция Римана — функция комплексного переменного, определяемая с помощью ряда Дирихле.
- Дифференциальное уравнение Римана — обобщение гипергеометрического уравнения, позволяющее получить регулярные сингулярные точки в любой точке сферы Римана.
- Дифферинтеграл Римана — Лиувилля — обобщение понятия повторной первообразной, отображающее вещественную функцию в другую функцию того же типа.
- Задача Римана о распаде произвольного разрыва — задача о построении аналитического решения нестационарных уравнений механики сплошных сред, в применении к распаду произвольного разрыва.
- Инварианты Римана — в газовой динамике — комбинированные параметры для некоторых частных течений газообразной среды.
- Интеграл Римана — одно из первых формализаций понятия интеграла.
- Интеграл Римана — Стилтьеса — обобщение определённого интеграла, предложенное в 1894 году Стилтьесом.
- Кратный интеграл Римана — один из вариантов кратных интегралов по измеримым множествам.
- Неравенство Римана — Пенроуза — неравенство, связывающее минимальную массу тела и площадь ловушечной поверхности чёрной дыры.
- Обобщённые гипотезы Римана — формулирование гипотезы Римана для L-функций Дирихле.
- Основная теорема римановой геометрии — наименование нескольких математических утверждений: Теоремы о связности Леви-Чивиты и Теоремы Нэша о регулярных вложениях.
- Производная Римана — одно из симметричных предельных определений производной.
- Псевдориманово многообразие — многообразие, в котором задан метрический тензор, невырожденный в каждой точке, но не обязательно положительно определённый.
- Риманова геометрия — раздел дифференциальной геометрии, главным объектом изучения которого являются римановы многообразия, то есть гладкие многообразия с дополнительной структурой, римановой метрикой.
- Риманова поверхность — традиционное в комплексном анализе название одномерного комплексного дифференцируемого многообразия.
- Риманова субмерсия — субмерсия между римановыми многообразиями, которая инфинитезимально является ортогональной проекцией.
- Риманово многообразие — вещественное дифференцируемое многообразие M, в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом.
- Субриманово многообразие — математическое понятие, обобщающее риманово многообразие.
- Сумма Римана — одно из классических определений интегральных сумм.
- Сфера Римана — риманова поверхность, естественная структура на расширенной комплексной плоскости, являющаяся комплексной проективной прямой.
- Тензор кривизны Римана — стандартный способ выражения кривизны римановых многообразий, а в общем случае — произвольных многообразий аффинной связности, без кручения или с кручением.
- Теорема Римана об отображении — важнейшая закономерность 2-мерной конформной геометрии и одномерного комплексного анализа.
- Теорема Римана об условно сходящихся рядах — теорема математического анализа, утверждающая, что перестановкой членов произвольного условно сходящегося ряда можно получить произвольное значение.
- Теорема Римана об устранимой особой точке — утверждение из теории функций комплексной переменной о заполнении устранимого разрыва.
- Теорема Римана — Роха — важная теорема математики, особенно в комплексном анализе и алгебраической геометрии, помогающая в вычислении размерности пространства мероморфных функций с предписанными нулями и разрешёнными полюсами.
- Условия Коши — Римана — соотношения, связывающие вещественную и мнимую части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного.
- Формула Римана — фон Мангольдта — выражение, описывающее распределение нулей дзета-функции Римана.
- Функция Римана — одна из функций, определённых Риманом: Дзета-функция Римана, Кси-функция Римана, Тета-функция Римана, Функция Римана, Функция Римана, Функция Римана (ТФДП).
- Функция Римана (ТФДП) — пример функции вещественной переменной, которая непрерывна на множестве иррациональных чисел, но разрывна на множестве рациональных.
