Псевдотопологическое пространство

Псевдотопологи́ческое простра́нство — множество с дополнительной предельной структурой определённого типа (так называемой псевдотопологией). Исторически понятие псевдотопологического пространства появилось как обобщение топологического пространства. Псевдотопологические пространства были введены в 1959 г. Фишером ^[1]. Псевдотопологические пространства естественным образом возникают при построении дифференциального исчисления в пространствах без нормы.^[2] Топологические пространства можно рассматривать как частные случаи псевдотопологических.^[3]

Псевдотопологическое пространство ${\displaystyle E}$ представляет собой множество ${\displaystyle M}$, наделённое псевдотопологией. Множество ${\displaystyle M}$ называется несущим множеством пространства ${\displaystyle E}$ и обозначается через ${\displaystyle {\underline {E}}}$. Если фильтр ${\displaystyle \mathrm {X} }$ в ${\displaystyle E}$ сходится к точке ${\displaystyle x}$ в данной псевдотопологии, то это обозначается как ${\displaystyle \mathrm {X} \downarrow _{x}E}$. Псевдотопология в ${\displaystyle M}$ определяется заданием для каждого ${\displaystyle x\in M}$ некоторого семейства фильтров в ${\displaystyle M}$, удовлетворяющих следующим условиям:

1. Если фильтр сходится к ${\displaystyle x}$, то к ${\displaystyle x}$ сходится и любой меньший фильтр. ${\displaystyle \mathrm {X} \downarrow _{x}E,\Psi \leqslant \mathrm {X} \Rightarrow \Psi \downarrow _{x}E}$
2. Если два фильтра сходятся к ${\displaystyle x}$, то к ${\displaystyle x}$ сходится и их верхняя грань. ${\displaystyle \mathrm {X} _{1}\downarrow _{x}E,\mathrm {X} _{2}\downarrow _{x}E\Rightarrow \mathrm {X} _{1}\vee \mathrm {X} _{2}\downarrow _{x}E}$
3. Фильтр ${\displaystyle \left[x\right]}$ сходится к ${\displaystyle x}$. ${\displaystyle \left[x\right]\downarrow _{x}E}$

• Фрёлихер, А., Бухер В. Дифференциальное исчисление в векторных пространствах без нормы. — М.: Мир, 1970.