Пфаффово уравнение

Пфа́ффово уравнение — уравнение вида ${\displaystyle \omega =0}$, где ${\displaystyle \omega }$ — дифференциальная 1-форма (пфаффова форма) на касательном расслоении многообразия ${\displaystyle M^{n}}$ размерности ${\displaystyle n}$. Названы в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.

Если на многообразии ${\displaystyle M^{n}}$ введены (локальные) координаты ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$, то пфаффово уравнение (локально) имеет вид

${\displaystyle a_{1}(x)\,dx_{1}+a_{2}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{n}(x)\,dx_{n}=0,}$

где ${\displaystyle a_{i}(x)}$ — скалярные функции, заданные на ${\displaystyle M^{n}}$. Простейшим примером является дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в так называемой симметричной форме:

${\displaystyle P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0,\quad x,y\in \mathbb {R} }$.

Пфа́ффова система (система пфаффовых уравнений) — система уравнений вида ${\displaystyle \omega _{1}=0,\omega _{2}=0,\ldots ,\omega _{m}=0}$, где ${\displaystyle \omega _{i}}$ — дифференциальные 1-формы на касательном расслоении многообразия ${\displaystyle M^{n}}$ размерности ${\displaystyle n}$. В координатах пфаффова система имеет вид

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{11}(x)\,dx_{1}+a_{12}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{1n}(x)\,dx_{n}&=0\\a_{21}(x)\,dx_{1}+a_{22}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{2n}(x)\,dx_{n}&=0\\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\a_{m1}(x)\,dx_{1}+a_{m2}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{mn}(x)\,dx_{n}&=0.\\\end{matrix}}\right.\qquad \qquad (*)}$

Рангом пфаффовой системы в точке ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ называется число ${\displaystyle r(x)}$, равное рангу матрицы ${\displaystyle (a_{ij}(x))}$. Обычно бывает ${\displaystyle r(x)<n}$.

Пфаффова система (*) задаёт в касательном пространстве ${\displaystyle T_{x}M^{n}}$ векторное подпространство размерности ${\displaystyle n-r(x)}$, которое называется допустимым подпространством в данной точке. Построенное таким образом поле допустимых подпространств на ${\displaystyle M^{n}}$ называется распределением, соответствующим пфаффовой системе (*). В частности, при ${\displaystyle r(x)\equiv n-1}$ распределение является полем направлений на ${\displaystyle M^{n}}$, при ${\displaystyle r(x)\equiv n-2}$ распределение является полем двумерных плоскостей, а при ${\displaystyle r(x)\equiv 1}$ распределение является полем гиперплоскостей.

Пфаффовы системы являются обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка: выбрав среди координат ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ одну (например, ${\displaystyle x_{n}}$) в качестве «независимой переменной» и разделив уравнения системы (*) на ${\displaystyle dx_{n}}$, получаем систему ОДУ первого порядка:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{11}(x)\,x_{1}'+a_{12}(x)\,x_{2}'+\cdots +a_{1n-1}(x)\,x_{n-1}'+a_{1n}(x)&=0\\a_{21}(x)\,x_{1}'+a_{22}(x)\,x_{2}'+\cdots +a_{2n-1}(x)\,x_{n-1}'+a_{2n}(x)&=0\\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\a_{m1}(x)\,x_{1}'+a_{m2}(x)\,x_{2}'+\cdots +a_{mn-1}(x)\,x_{n-1}'+a_{mn}(x)&=0,\\\end{matrix}}\right.\qquad \qquad (**)}$

где ${\displaystyle x_{i}'=dx_{i}/dx_{n}}$.

Геометрически, переход от системы (*) к системе (**) означает переход от однородных координат ${\displaystyle (dx_{1},\ldots ,dx_{n})}$ к неоднородным координатам в проективизированных касательных пространствах к многообразию ${\displaystyle M^{n}}$.

Основная задача, связанная с пфаффовыми системами, состоит в нахождении их интегральных поверхностей — поверхностей (подмногообразий) размерностей ${\displaystyle 1,2,\ldots ,n-1}$ в многообразии ${\displaystyle M^{n}}$, на которых удовлетворяются все уравнения системы (*). Геометрически это означает, что интегральная поверхность ${\displaystyle S}$ в каждой точке касается допустимого подпространства, задаваемого системой (*), т. е. касательное пространство к ${\displaystyle S}$ содержится в допустимом подпространстве системы (*).

Пфаффова система (*) постоянного ранга ${\displaystyle m<n}$ называется вполне интегрируемой, если через каждую точку многообразия ${\displaystyle M^{n}}$ проходит интегральная поверхность ${\displaystyle S_{n-m}}$ максимально возможной размерности ${\displaystyle n-m}$.

В окрестности любой точки вполне интегрируемая система ранга ${\displaystyle m<n}$ с помощью выбора подходящих локальных координат на многообразии ${\displaystyle M^{n}}$ приводится к каноническому виду

${\displaystyle dx_{1}=0,\ dx_{2}=0,\,\ldots ,\,dx_{m}=0.}$

Необходимое и достаточное условие полной интегрируемости даёт теорема Фробениуса. В применении к пфаффовой системе (*) это условие можно выразить следующим образом:

${\displaystyle \omega _{1}\wedge \dots \wedge \omega _{m}\wedge d\omega _{i}=0\quad \ i=1,\ldots ,m,\qquad \qquad (***)}$

где ${\displaystyle d\omega _{i}}$ означает внешний дифференциал 1-формы и ${\displaystyle \wedge }$ означает внешнее произведение форм.

• Пфаффово уравнение ${\displaystyle \omega =dx_{1}+dx_{2}+dx_{3}=0}$ вполне интегрируемо: его интегральные поверхности — плоскости ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=c}$ в трёхмерном пространстве. С помощью замены ${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}}$ это уравнение приводится к каноническому виду ${\displaystyle d{\tilde {x}}_{1}=0.}$ Условие (***) теоремы Фробениуса в этом случае, очевидно, выполнено, так как ${\displaystyle d\omega =0.}$

• Пфаффово уравнение ${\displaystyle \omega =x_{3}\,dx_{1}+dx_{2}=0}$ не является вполне интегрируемым. В этом случае ${\displaystyle d\omega =dx_{3}\wedge dx_{1}}$ и условие (***) теоремы Фробениуса не выполнено:

${\displaystyle \omega \wedge d\omega =(x_{3}\,dx_{1}+dx_{2})\wedge (dx_{3}\wedge dx_{1})=dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge dx_{3}\neq 0.}$

• Распределение (дифференциальная геометрия)
• Слоение

• Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными, — Любое издание.
• Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.