Пфа́ффово уравнение — уравнение вида
, где
— дифференциальная 1-форма (пфаффова форма) на касательном расслоении многообразия
размерности
. Названы в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.
Если на многообразии
введены (локальные) координаты
, то пфаффово уравнение (локально) имеет вид

где
— скалярные функции, заданные на
. Простейшим примером является дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в так называемой симметричной форме:
.
Пфаффова система
Пфа́ффова система (система пфаффовых уравнений) — система уравнений вида
, где
— дифференциальные 1-формы на касательном расслоении многообразия
размерности
. В координатах пфаффова система имеет вид

Рангом пфаффовой системы в точке
называется число
, равное рангу матрицы
. Обычно бывает
.
Пфаффова система (*) задаёт в касательном пространстве
векторное подпространство размерности
, которое называется допустимым подпространством в данной точке. Построенное таким образом поле допустимых подпространств на
называется распределением, соответствующим пфаффовой системе (*). В частности, при
распределение является полем направлений на
, при
распределение является полем двумерных плоскостей, а при
распределение является полем гиперплоскостей.
Пфаффовы системы являются обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка: выбрав среди координат
одну (например,
) в качестве «независимой переменной» и разделив уравнения системы (*) на
, получаем систему ОДУ первого порядка:

где
.
Геометрически, переход от системы (*) к системе (**) означает переход от однородных координат
к неоднородным координатам в проективизированных касательных пространствах к многообразию
.
Интегрирование пфаффовых систем
Основная задача, связанная с пфаффовыми системами, состоит в нахождении их интегральных поверхностей — поверхностей (подмногообразий) размерностей
в многообразии
, на которых удовлетворяются все уравнения системы (*). Геометрически это означает, что интегральная поверхность
в каждой точке касается допустимого подпространства, задаваемого системой (*), т. е. касательное пространство к
содержится в допустимом подпространстве системы (*).
Пфаффова система (*) постоянного ранга
называется вполне интегрируемой, если через каждую точку многообразия
проходит интегральная поверхность
максимально возможной размерности
.
В окрестности любой точки вполне интегрируемая система ранга
с помощью выбора подходящих локальных координат на многообразии
приводится к каноническому виду

Необходимое и достаточное условие полной интегрируемости даёт теорема Фробениуса. В применении к пфаффовой системе (*) это условие можно выразить следующим образом:

где
означает внешний дифференциал 1-формы и
означает внешнее произведение форм.
Примеры
- Пфаффово уравнение
вполне интегрируемо: его интегральные поверхности — плоскости
в трёхмерном пространстве. С помощью замены
это уравнение приводится к каноническому виду
Условие (***) теоремы Фробениуса в этом случае, очевидно, выполнено, так как 
- Пфаффово уравнение
не является вполне интегрируемым. В этом случае
и условие (***) теоремы Фробениуса не выполнено:

См. также
Литература
- Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными, — Любое издание.
- Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.