Равномерно распределённая последовательность

Равномерно распределённая последовательность — бесконечная последовательность вещественных чисел ${\displaystyle s_{1},s_{2},\dots ,s_{n},\dots }$ из заданного интервала ${\displaystyle (a;b)}$ (${\displaystyle a<b}$), в которой в любом ненулевом отрезке ${\displaystyle (c;d)}$ (${\displaystyle c<d}$) доля элементов, попадающих в этот отрезок, стремится к отношению длины отрезка ${\displaystyle (c;d)}$ к длине интервала ${\displaystyle (a;b)}$:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{{\frac {\varphi _{n}(c,d)}{n}}={{d-c} \over {b-a}}}}$,

где ${\displaystyle \varphi _{n}(c,d)}$ — количество чисел из ${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{n}}$, попавших в ${\displaystyle (c;d)}$.

Расхождением D_n для последовательности ${\displaystyle s_{1},s_{2},\dots ,s_{n},\dots }$ на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$ называется величина

${\displaystyle D_{n}=\sup _{a\leq c\leq d\leq b}\left\vert {{\frac {\varphi _{n}(c,d)}{n}}-{\frac {d-c}{b-a}}}\right\vert .}$

Последовательность оказывается равнораспределённой, если расхождение D_n стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности.

Равномерное распределение — довольно слабый критерий для выражения того факта, что последовательность заполняет сегмент, не оставляя пробелов. Для получения более строгих критериев и для построения последовательностей, которые распределены более равномерно, см. последовательность с низким расхождением.

Ключевым результатом, касающимся равномерно распределённых последовательностей, является теорема Вейля о равномерном распределении.

• Кейперс Л., Нидеррайтер Г. Равномерное распределение последовательностей. — М.: Наука, 1985. — 408 с.
• Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961. — 213 с.