Равномерное распределение

Равномерное распределение вероятностей — общее название класса распределений вероятностей, возникающего при распространении идеи «равновозможности исходов» на непрерывный случай. Подобно нормальному распределению равномерное распределение появляется в теории вероятностей как точное распределение в одних задачах и как предельное — в других.

Понятие равномерного распределения первоначально появилось для дискретного множества значений случайной величины, где это понятие интуитивно наиболее просто воспринимается и означает, что каждое из этих значений реализуется с одинаковой вероятностью. Для абсолютно непрерывной случайной величины условие равной вероятности заменяется условием постоянства функции плотности. В одномерном случае это означает, что вероятность попадания случайной величины в любой допустимый промежуток фиксированной длины одна и та же и зависит только от его длины. В результате дальнейшего обобщения понятие равномерного распределения было перенесено на многомерные распределения, а также распределения, заданные в общем виде как вероятностная мера.

Пусть ${\displaystyle (\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ — пространство с мерой, где ${\displaystyle \Omega }$ — множество, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — сигма-алгебра подмножеств ${\displaystyle \Omega }$ и ${\displaystyle \mu }$ — конечная мера на ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Тогда равномерным распределением на множестве ${\displaystyle \Omega }$ относительно меры ${\displaystyle \mu }$ называется вероятностная мера ${\displaystyle P}$, удовлетворяющая равенству^[1]

${\displaystyle P(A)={\frac {\mu (A)}{\mu (\Omega )}},}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$.

Дискретное равномерное распределение — распределение, в котором случайная величина принимает конечное число значений с равными вероятностями. Множество ${\displaystyle \Omega }$ (оно должно быть непустым и конечным) в этом случае является перечислимым, и мера ${\displaystyle \mu }$ определена как количество элементов множества (считающая мера).

Непрерывное равномерное распределение — распределение случайной величины с постоянной почти всюду на ${\displaystyle \Omega }$ плотностью вероятности. В этом случае ${\displaystyle \Omega \in S^{n}}$, где ${\displaystyle S^{n}}$ — борелевская сигма-алгебра подмножеств ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (${\displaystyle n}$ — натуральное число), ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{A\in S^{n}:A\subseteq \Omega \}}$ и ${\displaystyle \mu }$ — лебегова мера, заданная на ${\displaystyle (\Omega ,\;{\mathcal {F}})}$ в пространстве ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\;S^{n})}$.