Разделённые степени

Разделённые степени — структура на коммутативных кольцах, позволяющая придать выражениям вида ${\displaystyle x^{n}/n!}$ смысл, если даже невозможно деление на ${\displaystyle n!}$.

Пусть ${\displaystyle A}$ — коммутативное кольцо с идеалом ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$. Структура разделённых степеней (или PD-структура, от фр. puissances divisées) на ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$ есть набор отображений ${\displaystyle \gamma _{n}:{\mathfrak {I}}\to A}$ для ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$ таких, что:

1. ${\displaystyle \gamma _{0}(x)=1}$ и ${\displaystyle \gamma _{1}(x)=x}$ для ${\displaystyle x\in {\mathfrak {I}}}$, тогда как ${\displaystyle \gamma _{n}(x)\in {\mathfrak {I}}}$ для ${\displaystyle n>0}$.
2. ${\displaystyle \gamma _{n}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}\gamma _{n-i}(x)\gamma _{i}(y)}$ для ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {I}}}$.
3. ${\displaystyle \gamma _{n}(\lambda x)=\lambda ^{n}\gamma _{n}(x)}$ для ${\displaystyle \lambda \in A,x\in {\mathfrak {I}}}$.
4. ${\displaystyle \gamma _{m}(x)\gamma _{n}(x)=((m,n))\gamma _{m+n}(x)}$ для ${\displaystyle x\in I}$, где ${\displaystyle ((m,n))={\frac {(m+n)!}{m!n!}}}$ — целое число.
5. ${\displaystyle \gamma _{n}(\gamma _{m}(x))=C_{n,m}\gamma _{mn}(x)}$ for ${\displaystyle x\in I}$, где ${\displaystyle C_{n,m}={\frac {(mn)!}{(m!)^{n}n!}}}$ — целое число.

Ради удобства обозначений ${\displaystyle \gamma _{n}(x)}$ часто пишется как ${\displaystyle x^{[n]}}$, когда ясно, какая структура разделённых степеней подразумевается.

Идеал разделённых степеней — идеал с заданной структурой разделённых степеней; кольцо с разделёнными степенями — кольцо с заданным идеалом и соответствующей ему структурой разделённых степеней.

Гомоморфизмы алгебр с разделёнными степенями суть гомоморфизмы колец, согласованные со структурами разделённых степеней на области определения и на образе.

• ${\displaystyle \mathbb {Z} \langle {x}\rangle :=\mathbb {Z} [x,{\frac {x^{2}}{2}},\ldots ,{\frac {x^{n}}{n!}},\ldots ]\subset \mathbb {Q} [x]}$ есть алгебра с разделёнными степенями, это свободная алгебра с разделёнными степенями над ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ с одной образующей.

• Если ${\displaystyle A}$ — алгебра над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, тогда всякий идеал ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$ имеет единственную структуру разделённых степеней; для неё ${\displaystyle \gamma _{n}(x)={\frac {1}{n!}}\cdot x^{n}}$. (Единственность следует из просто проверяемого факта, утверждающего, что, вообще говоря, ${\displaystyle x^{n}=n!\gamma _{n}(x)}$.) На самом деле, это первоочередной пример для мотивировки этого понятия.

• Если ${\displaystyle A}$ — кольцо характеристики ${\displaystyle p>0}$, где ${\displaystyle p}$ — простое число, и ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$ — идеал такой, что ${\displaystyle {\mathfrak {I}}^{p}=0}$, то мы можем определить структуру разделённых степеней на ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$, где ${\displaystyle \gamma _{n}(x)={\frac {1}{n!}}x^{n}}$, если ${\displaystyle n<p}$, и ${\displaystyle \gamma _{n}(x)=0}$, если ${\displaystyle n\geq p}$. (Заметим разницу между идеалом ${\displaystyle {\mathfrak {I}}^{p}}$ и идеалом, порождённым ${\displaystyle x^{p}}$ для всех ${\displaystyle x\in {\mathfrak {I}}}$; второй всегда нулевой, если структура разделённых степеней существует, в то время как первый не обязательно нулевой.)

• Если ${\displaystyle M}$ есть ${\displaystyle A}$-модуль, пусть ${\displaystyle S^{\cdot }M}$ обозначает симметрическую алгебру модуля ${\displaystyle M}$ над ${\displaystyle A}$. Тогда её двойственная алгебра ${\displaystyle (S^{\cdot }M){\check {~}}=Hom_{A}(S^{\cdot }M,A)}$ имеет каноническую структуру кольца с разделёнными степенями. На самом деле, она канонически изоморфна естественному пополнению ${\displaystyle \Gamma _{A}({\check {M}})}$ (см. ниже), если ${\displaystyle M}$ конечного ранга.

Если ${\displaystyle A}$ — произвольное кольцо, существует кольцо с разделёнными степенями:

${\displaystyle A\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\rangle }$,

состоящее из многочленов с разделёнными степенями от переменных ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},}$, то есть суммы мономов с разделёнными степенями вида:

${\displaystyle cx_{1}^{[i_{1}]}x_{2}^{[i_{2}]}\cdots x_{n}^{[i_{n}]}}$,

где ${\displaystyle c\in A}$. Здесь идеал разделённых степеней есть множество многочленов с разделёнными степенями со свободным членом ${\displaystyle 0}$.

Более общо, если ${\displaystyle M}$ — ${\displaystyle A}$-модуль, существует универсальная ${\displaystyle A}$-алгебра, называемая ${\displaystyle \Gamma _{A}(M)}$, с идеалом разделённых степеней ${\displaystyle \Gamma _{+}(M)}$ и ${\displaystyle A}$-линейным отображением ${\displaystyle M\to \Gamma _{+}(M)}$. (Случай многочленов с разделёнными степенями — это частный случай, когда ${\displaystyle M}$ — свободный модуль над ${\displaystyle A}$ конечного ранга.)

Если ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$ — идеал в ${\displaystyle A}$, существует универсальная конструкция, расширяющая кольцо ${\displaystyle A}$ с разделёнными степенями элементов ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$ до обёртывающей кольца с разделёнными степенями ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$ в ${\displaystyle A}$.

Обёртывающая кольца с разделёнными степенями — важный инструмент в теориях PD-дифференциальных операторов и кристаллических когомологий, где разделённые степени используются для обхождения технических трудностей, возникающих при положительной характеристике кольца.

Функтор разделённых степеней используется при построении кофункторов Шура^[англ.].

• Berthelot, Pierre; Ogus, Arthur. Notes on Crystalline Cohomology (неопр.). — Princeton University Press, 1978. — (Annals of Mathematics Studies).
• Hazewinkel, Michiel^[англ.]. Formal Groups and Applications (неопр.). — Elsevier, 1978. — Т. 78. — С. 507. — (Pure and applied mathematics, a series of monographs and textbooks). — ISBN 0123351502.