Распределение Пирсона

Распределение Пирсона — непрерывное распределение вероятностей, плотность вероятности которого является решением дифференциального уравнения ${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {a_{1}x+a_{0}}{b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}}}f(x)}$, где числа ${\displaystyle a_{0},a_{1},b_{0},b_{1},b_{2}}$ являются параметрами распределения.^[1] Частными случаями распределения Пирсона являются бета-распределение (распределение Пирсона I типа), гамма-распределение (распределение Пирсона III типа), распределение Стьюдента (распределение Пирсона VII типа), показательное распределение (распределение Пирсона X типа), нормальное распределение (распределение Пирсона XI типа). Распределения Пирсона широко используются в математической статистике при сглаживании распределений эмпирических данных. Для аппроксимации распределения вероятностей опытных данных численными методами вычисляют их первые четыре момента, а затем на их основе вычисляют параметры распределения Пирсона.^[2]

Распределения Пирсона полностью определяются первыми четырьмя моментами случайной величины. Пусть ${\displaystyle \mu _{k}}$ является ${\displaystyle k}$ центральным моментом случайной величины, имеющей распределение Пирсона. Тогда, если ${\displaystyle a_{1}=1}$, то

${\displaystyle a_{0}={\frac {\mu _{3}(\mu _{4}+3\mu _{2}^{2})}{A}}}$,

${\displaystyle b_{0}=-{\frac {\mu _{2}(4\mu _{2}\mu _{4}-3\mu _{3}^{2})}{A}}}$,

${\displaystyle b_{1}=-{\frac {\mu _{3}(4\mu _{2}\mu _{4}+3\mu _{2}^{2})}{A}}}$,

${\displaystyle b_{2}=-{\frac {2\mu _{2}\mu _{4}-3\mu _{3}^{2}-6\mu _{2}^{3}}{A}}}$,

где ${\displaystyle A=10\mu _{4}\mu _{2}-18\mu _{2}^{3}-12\mu _{3}^{2}}$.^[1]

В зависимости от распределения корней квадратного трёхчлена ${\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}}$ различают 12 типов распределений Пирсона. Обозначим ${\displaystyle D=b_{0}b_{2}-b_{1}^{2}}$, ${\displaystyle \lambda ={\frac {b_{1}^{2}}{b_{0}b_{2}}}}$.^[1]

Распределениями Пирсона I типа являются бета — распределения. Условия: ${\displaystyle D<0}$, ${\displaystyle \lambda <0}$, ${\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha +x)(-\beta +x)b_{2}}$, ${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$ Плотность вероятности: ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\alpha ^{2m}\beta ^{2n}}{(\alpha +\beta )^{m+n+1}B(m+1,n+1)}}(\alpha +x)^{m}(\beta -x)^{n},&x\in [-\alpha ,\beta ]\\0,&x\notin [-\alpha ,\beta ]\end{cases}}}$, где ${\displaystyle B(m+1,n+1)={\frac {\Gamma (m+1)\Gamma (n+1)}{\Gamma (m+n+2)}}}$, ${\displaystyle m>-1,n>-1}$.^[1]

Условия как для I типа с дополнительными условиями ${\displaystyle \alpha =\beta ,m=n}$.^[1]

Распределениями Пирсона III типа являются гамма-распределения. Условия: ${\displaystyle D<0}$, ${\displaystyle \lambda =\infty }$, ${\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=2(\alpha +x)b_{1}}$. Плотность вероятности: ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k^{m+1}}{\Gamma (m+1)}}(\alpha +x)^{m}e^{-k(\alpha +x)},&x>-\alpha ,k>0\\0,&x\leqslant -\alpha \end{cases}}}$.^[1]

Условия: ${\displaystyle D>0}$, ${\displaystyle 0<\lambda <1}$, ${\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha ^{2}+x^{2})b_{2}}$. Плотность вероятности: ${\displaystyle f(x)=c(\alpha ^{2}+x^{2})^{-m}\exp {-\nu \arctan {\frac {x}{\alpha }}}}$, ${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}$, ${\displaystyle m\geqslant {\frac {1}{2}}}$, где ${\displaystyle c^{-1}=\int _{-\infty }^{\infty }(\alpha ^{2}+x^{2})^{-m}\exp {-\nu \arctan {\frac {x}{\alpha }}}dx}$.^[3]

Условия: ${\displaystyle D=0}$, ${\displaystyle \lambda =1}$, ${\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha +x)^{2}b_{2}}$. Плотность вероятности: ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\gamma ^{m-1}}{\Gamma {m-1}}}x^{-m}e^{-{\frac {\gamma }{x}}},&\gamma >0,m>1,x>0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}}}$.^[3]

Условия: ${\displaystyle D<0}$, ${\displaystyle \lambda >1}$, ${\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha +x)(x-\beta )b_{2}}$. Плотность вероятности: ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {(\alpha +\beta )^{-(m+n+1)}}{B(-m-n-1,n+1)}}(x+\alpha )^{m}(x-\beta )^{n},&x>\beta ,m-1>0,n>-1\\0,&x\leqslant \beta \end{cases}}}$.^[3]

Распределением Пирсона VII типа является распределение Стьюдента. Условия: ${\displaystyle D>0}$, ${\displaystyle \lambda =0}$, ${\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha ^{2}+x^{2})b_{2}}$. Плотность вероятности: ${\displaystyle f(x)={\frac {\alpha ^{2m-1}}{B(m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}})}}(\alpha ^{2}+x^{2})^{-m}}$, ${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}$, ${\displaystyle m\geqslant {\frac {1}{2}}}$.^[3]

Условия: ${\displaystyle D<0}$, ${\displaystyle \lambda <0}$, ${\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=x(x+\alpha )b_{2}}$. Плотность вероятности: ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {m+1}{\alpha ^{m+1}}}(x+\alpha )^{m},&x\in [-\alpha ,0],-1<m<0\\0,&x\notin [-\alpha ,0]\end{cases}}}$.^[3]

Условия: ${\displaystyle D<0}$, ${\displaystyle \lambda <0}$, ${\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=x(x+\alpha )b_{2}}$. Плотность вероятности: ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {m+1}{\alpha ^{m+1}}}(x+\alpha )^{m},&x\in [-\alpha ,0],m<-1\\0,&x\notin [-\alpha ,0]\end{cases}}}$. ^[3]

Распределением Пирсона X типа является показательное распределение. Условия: ${\displaystyle D=0}$, ${\displaystyle \lambda =0}$, ${\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=b_{0}}$, ${\displaystyle a_{1}=0}$. Плотность вероятности: ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\gamma e^{-\gamma x},&x>0,\gamma >0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}}}$^[2]

Распределением Пирсона XI типа является нормальное распределение. Условия: ${\displaystyle D=0}$, ${\displaystyle \lambda }$ неопределённо, ${\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=b_{0}}$. Плотность вероятности: ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp {-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}},x\in (-\infty ,\infty )}$.^[2]

Условия как для I типа с дополнительными условиями ${\displaystyle \alpha =\beta ,m=-n}$.^[1]

• Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.