Распределение Скеллама

Распределение Скеллама — дискретное распределение вероятностей разности ${\displaystyle n_{1}-n_{2}}$ двух статистически независимых случайных величин ${\displaystyle N_{1}}$ и, ${\displaystyle N_{2}}$ имеющих Пуассоновское распределения с различными средними ${\displaystyle \mu _{1}}$ и ${\displaystyle \mu _{2}}$. Оно применяется при описании статистики разности двух изображений с простым фотонным шумом, а также описывает распределение разности очков в спортивных играх, где все набранные очки равны, таких как бейсбол, хоккей и футбол.

Распределение также распространяется на частный случай разности зависимых случайных величин Пуассона, но только на очевидный случай, когда две велечины имеют общую аддитивную случайную составляющую, которая сокращается при взятии разности: см. Карлис & Ntzoufras (2003) подробности и заявки.

Функция вероятности распределения Скеллама для подсчета разности ${\displaystyle k=n_{1}-n_{2}}$ двух Пуассоновых-распределенных переменных средствами ${\displaystyle \mu _{1}}$ и ${\displaystyle \mu _{2}}$ определяется по формуле:

${\displaystyle f(k;\mu _{1},\mu _{2})=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\left({\mu _{1} \over \mu _{2}}\right)^{k/2}I_{k}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})}$

где I_k(z) — модифицированная функция Бесселя первого рода. Заметим, что так как k — целое число, I_k(z)=I_|k|(z)).