Тео́рия Галуа́ — раздел алгебры, позволяющий переформулировать определённые вопросы теории полей на языке теории групп, делая их в некотором смысле более простыми.

Автоморфизм — изоморфизм между математическим объектом и им самим; отображение, изменяющее объект с сохранением всех его изначальных свойств. Множество всех автоморфизмов объекта образует группу автоморфизмов, которую можно рассматривать как обобщение группы симметрий объекта.
Теория групп — раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как кольца, поля, векторные пространства, являются группами с расширенным набором операций и аксиом. Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом, сформирован собственный глоссарий, элементы которого активно заимствуются смежными разделами математики и приложениями. Наиболее развитые ветви теории групп — линейные алгебраические группы и группы Ли — стали самостоятельными областями математики.
Но́рма — отображение элементов конечного расширения E поля K в исходное поле K, определяемое следующим образом:
След — отображение элементов конечного расширения поля
в исходное поле K, определяемое следующим образом:
Теоре́ма Ги́льберта 90 — одно из основных утверждений для конечных циклических расширений Галуа.
Гру́ппа Галуа́ — группа, ассоциированная с расширением поля. Играет важную роль при исследовании расширений полей, в частности, в теории Галуа. Это понятие ввёл в математику Эварист Галуа в 1832 году.
Абелево расширение поля — расширение Галуа, для которого группа Галуа является абелевой.
В алгебраической теории чисел теория Куммера дает описание некоторых видов расширений поля, состоящих в добавлении к исходному полю корня n-ой степени из его элемента. Теория была разработана Эрнстом Эдуардом Куммером около 1840 года в его работе, связанной с теоремой Ферма.
В общей алгебре, поле k называется совершенным если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:
- 1) Любой неприводимый многочлен над k имеет различные корни в алгебраическом замыкании k.
- 2) Каждое конечное расширение k является сепарабельным.
- 3) Каждое алгебраическое расширение k является сепарабельным.
- 4) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и каждый элемент k является p-й степенью.
- 5) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом.
- 6) k совпадает со множеством неподвижных точек k-автоморфизмов алгебраического замыкания k.
Основная теорема теории Галуа — теорема о расширениях полей определённого вида, ключевой результат теории Галуа.
Обратная задача Галуа — открытая проблема теории Галуа, поставленная в начале XIX века: является ли любая конечная группа группой Галуа некоторого расширения Галуа рациональных чисел
..