Расширение Галуа

Перейти к навигации Перейти к поиску

Расшире́ние Галуа́ — алгебраическое расширение поля E/K, являющееся нормальным и сепарабельным. При этих условиях E будет иметь наибольшее количество автоморфизмов над K (если E конечно, то количество автоморфизмов также конечно и равно степени расширения [E:K]).

Группа автоморфизмов E над K называется группой Галуа и обозначается Gal(E/K) (или G(E/K)).

Если Gal(E/K) абелева, циклическая и т. д., то расширение Галуа называется соответственно абелевым, циклическим и т. д. соответственно.

Иногда рассматривают группу Галуа для расширения E, которое сепарабельно, но необязательно нормально. В этом случае под группой Галуа E/K понимают группу Gal(Ē/K), где Ē — минимальное нормальное расширение K, содержащее E (в конечном случае, когда сепарабельное расширение является простым E=K(α) для некоторого α, являющегося корнем неприводимого над K многочлена f(x), Ē является полем разложения этого многочлена).

Литература

Ван дер Варден Б. Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967

См. также

Теория Галуа

Похожие исследовательские статьи

Тео́рия Галуа́ — раздел алгебры, позволяющий переформулировать определённые вопросы теории полей на языке теории групп, делая их в некотором смысле более простыми.

<span class="mw-page-title-main">Автоморфизм</span> изоморфизм математического объекта с самим собой

Автоморфизм — изоморфизм между математическим объектом и им самим; отображение, изменяющее объект с сохранением всех его изначальных свойств. Множество всех автоморфизмов объекта образует группу автоморфизмов, которую можно рассматривать как обобщение группы симметрий объекта.

Теория групп — раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как кольца, поля, векторные пространства, являются группами с расширенным набором операций и аксиом. Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом, сформирован собственный глоссарий, элементы которого активно заимствуются смежными разделами математики и приложениями. Наиболее развитые ветви теории групп — линейные алгебраические группы и группы Ли — стали самостоятельными областями математики.

<span class="mw-page-title-main">Конечная группа</span> алгебраическая структура - группа, содержащая конечное число элементов

Конечная группа в общей алгебре — группа, содержащая конечное число элементов. Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в ней обозначается как умножение; аддитивные группы с операцией сложения оговариваются особо. Единицу мультипликативной группы будем обозначать символом 1. Порядок группы $\text{[math]}$ принято обозначать $\text{[math]}$

Расшире́ние по́ля $\text{[math]}$ — поле $\text{[math]}$ , содержащее данное поле $\text{[math]}$ в качестве подполя. Исследование расширений является важной задачей теории полей, так как любой гомоморфизм полей является расширением.

Но́рма — отображение элементов конечного расширения E поля K в исходное поле K, определяемое следующим образом:

След — отображение элементов конечного расширения поля $\text{[math]}$ в исходное поле K, определяемое следующим образом:

Норма́льное расшире́ние — алгебраическое расширение поля $\text{[math]}$ для которого каждый неприводимый многочлен $\text{[math]}$ над $\text{[math]}$ , имеющий хотя бы один корень в $\text{[math]}$ , разлагается в $\text{[math]}$ на линейные множители.

Сепара́бельное расширение — алгебраическое расширение поля $\text{[math]}$ , состоящее из сепарабельных элементов, то есть таких элементов $\text{[math]}$ , минимальный аннулятор $\text{[math]}$ над $\text{[math]}$ для которых не имеет кратных корней. Производная $\text{[math]}$ должна быть в этой связи ненулевым многочленом. По определению все поля характеристики 0 сепарабельны, поэтому понятие сепарабельности нетривиально лишь для полей ненулевой характеристики $\text{[math]}$ .

Теоре́ма Ги́льберта 90 — одно из основных утверждений для конечных циклических расширений Галуа.

Гру́ппа Галуа́ — группа, ассоциированная с расширением поля. Играет важную роль при исследовании расширений полей, в частности, в теории Галуа. Это понятие ввёл в математику Эварист Галуа в 1832 году.

Абелево расширение поля — расширение Галуа, для которого группа Галуа является абелевой.

Если задан некоторый неприводимый многочлен $\text{[math]}$ над кольцом $\text{[math]}$ и выбран некоторый его корень $\text{[math]}$ в расширении $\text{[math]}$ , то сопряженным корнем для данного корня $\text{[math]}$ многочлена $\text{[math]}$ называется любой корень многочлена $\text{[math]}$ . Число сопряженных корней неприводимого многочлена равно степени $\text{[math]}$ многочлена $\text{[math]}$ . Также говорят, что элементы $\text{[math]}$ являются сопряженными, если они являются корнями некоторого неприводимого многочлена $\text{[math]}$

В алгебраической теории чисел теория Куммера дает описание некоторых видов расширений поля, состоящих в добавлении к исходному полю корня n-ой степени из его элемента. Теория была разработана Эрнстом Эдуардом Куммером около 1840 года в его работе, связанной с теоремой Ферма.

В общей алгебре, поле k называется совершенным если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

1) Любой неприводимый многочлен над k имеет различные корни в алгебраическом замыкании k.

2) Каждое конечное расширение k является сепарабельным.

3) Каждое алгебраическое расширение k является сепарабельным.

4) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и каждый элемент k является p-й степенью.

5) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом.

6) k совпадает со множеством неподвижных точек k-автоморфизмов алгебраического замыкания k.

Основная теорема теории Галуа — теорема о расширениях полей определённого вида, ключевой результат теории Галуа.

Абсолютная группа Галуа $\text{[math]}$ поля $\text{[math]}$ — группа Галуа $\text{[math]}$ над $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — сепарабельное замыкание $\text{[math]}$ . Также определяется как группа всех автоморфизмов алгебраического замыкания поля $\text{[math]}$ , которые оставляют $\text{[math]}$ неподвижным. Абсолютная группа Галуа уникальна с точностью до изоморфизма. Является проконечной группой.

Башня полей — последовательность из расширений для некоторого поля $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ , может быть конечной или бесконечной. Часто записывается вертикально:

\text{[math]}

Разложение простых идеалов в расширениях Галуа — разложение простых идеалов $\text{[math]}$ кольца целых $\text{[math]}$ поля алгебраических чисел $\text{[math]}$ в кольце целых $\text{[math]}$ расширении Галуа $\text{[math]}$ с группой Галуа $\text{[math]}$ . Изучение этого разложения является одной из самых богатых частей алгебраической теории чисел. Эта теория иногда приписывается Гильберту, в связи с чем фигурирует под названием теория Гильберта.

Обратная задача Галуа — открытая проблема теории Галуа, поставленная в начале XIX века: является ли любая конечная группа группой Галуа некоторого расширения Галуа рациональных чисел $\text{[math]}$ ..

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.