Расширение Оре

Расширение Оре — особый тип расширения кольца, свойства которого относительно хорошо изучены. Названо в честь Ойстина Оре.

Пусть ${\displaystyle R}$ — алгебра без делителей нуля, ${\displaystyle R[t]}$ — свободный (левый) R-модуль, состоящий из всех многочленов вида ${\displaystyle P=a_{n}t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+...+a_{0}t_{0}}$, где ${\displaystyle a_{i}\in R}$, степени ${\displaystyle deg(P)=n}$, ${\displaystyle \alpha }$ — мономорфизм из ${\displaystyle R}$ в себя и ${\displaystyle \delta }$ — некоторое ${\displaystyle \alpha }$-дифференцирование на ${\displaystyle R}$. Существует единственная структура алгебры на ${\displaystyle R[t]}$, т.ч. естественное включение ${\displaystyle R\rightarrow R[t]}$ является гомоморфизмом и выполняется соотношение ${\displaystyle ta=\alpha (a)t+\delta (a)}$ для всех ${\displaystyle a\in R}$.

Определённая таким образом алгебра называется расширением Оре, ассоциированным с тройкой ${\displaystyle (R,\alpha ,\delta )}$, и обозначается ${\displaystyle R[t,\alpha ,\delta ]}$.

Пусть ${\displaystyle M}$ — алгебра, состоящая из всех бесконечных матриц ${\displaystyle (f_{ij})_{i,j\geq 1}}$с элементами в алгебре ${\displaystyle End(R)}$, т.ч. в каждом столбце и в каждой строке этих матриц лишь конечное число элементов отличны от нуля. Единицей в ${\displaystyle M}$ является диагональная матрица ${\displaystyle I}$ с тождественными операторами на диагонали. Пусть ${\displaystyle {\hat {a}}\in End(R)}$ — оператор левого умножения на ${\displaystyle a}$. Тогда на ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \delta }$ наложены следующие условия:

${\displaystyle \alpha {\hat {a}}={\hat {\alpha (a)}}\alpha {\text{ и }}\delta {\hat {a}}={\hat {\alpha (a)}}\delta +{\hat {\delta (a)}}}$. Рассмотрим бесконечную матрицу

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}\delta &0&0&0&...\\\alpha &\delta &0&0&...\\0&\alpha &\delta &0&...\\0&0&\alpha &\delta &...\\...&...&...&...&...\end{pmatrix}}}$.

Она позволяет определить инъективное линейное отображение ${\displaystyle \Phi :R[t]\rightarrow M}$ по формуле ${\displaystyle \Phi \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}t^{i}\right)=\sum _{i=0}^{n}({\hat {a}}_{i}I)T^{i}}$. Пусть ${\displaystyle S}$ — подалгебра в ${\displaystyle M}$, порождённая элементами ${\displaystyle T}$ и ${\displaystyle {\hat {a}}I}$ (${\displaystyle a\in R}$). Она является образом ${\displaystyle R[t]}$ при отображении ${\displaystyle \Phi }$. Поскольку ${\displaystyle \Phi }$ является мономорфизмом, то оно индуцирует линейный изоморфизм между ${\displaystyle R[t]}$ и ${\displaystyle S}$, позволяющий индуцировать структуру алгебры ${\displaystyle S}$ на ${\displaystyle R[t]}$.

• Кассель, К. Квантовые группы = Ɔuantum groups / Пер. с англ. И. А. Дынникова под ред. В. М. Бухштабера. — М.: ФАЗИС, 1999. — 66 с. — ISBN 5-7036-0052-9.