Рационализируемость

Рационализируемость^[1] (англ. rationalizability) — концепция решения в теории игр. Концепция задумана как набор минимальных ограничений, при которых игроки остаются рациональными и имеет место общее знание о рациональности каждого из участников. Иными словами, имеют место рациональность и общая вера в рациональность. В частности, концепция менее требовательна, чем равновесие Нэша, и совокупность равновесий в игре является подмножеством множества рационализируемых решений. Обе концепции требуют от игроков рационального (оптимального для них) ответа в рамках определённой веры относительно поведения соперников, однако концепция Нэша требует, чтобы веры были обоснованы, концепция рационализируемости — нет. Концепция возникла в 1984 году в работах Дугласа Бернхейма и Дэвида Пирса,

Пусть имеется игра ${\displaystyle (I,(S_{i},u_{i})_{i\in I})}$, где ${\displaystyle I}$ соответствует множеству игроков, ${\displaystyle S_{i}}$ — множеству стратегий игрока i, ${\displaystyle u_{i}}$ — полезности игрока i. Пусть ${\displaystyle S_{i}^{0}=S_{i}\forall i}$, то есть для каждого из игроков определено множество стратегий нулевой «итерации»^[2]. Индуктивно определяются множества стратегий следующих «итераций», ${\displaystyle S_{i}^{m+1}\forall m\geq 0}$, куда включены стратегии, являющиеся лучшими ответами на предположения ${\displaystyle \sigma _{-i}\in \Delta (S_{-i}^{m})}$, где обозначение «-i» соответствует объектам, относящимся ко всем игрокам за исключением i-го. Множество

${\displaystyle S_{i}^{\infty }=\cap _{m\geq 0}S_{i}^{m}}$

является множеством рационализируемых ^[3] стратегий игрока i.

Неформально идею концепции можно изложить следующим образом. На «нулевом» шаге — шаги проделываются мысленно и априори, поскольку ходы делаются одновременно — определяется исходное множество стратегий, совпадающее с множеством всех доступных игроку стратегий. Затем из исходного множества удаляются все те стратегии, которые не являются оптимальными ни при какой вере о действиях оппонентов. Именно здесь прослеживается понятие о рациональности игрока: будучи рациональным, он никогда не использовал бы стратегию, выигрыш от которой не был бы максимальным. Затем происходит итеративное удаление стратегий, которые субоптимальны (также при любой вере) уже в новых условиях — в отсутствие действий, удалённых их исходного множества на предыдущем шаге. На этом месте проявляется общее знание о рациональности каждого из участников: они никогда не изберут субоптимальную стратегию, поэтому рассматривать их в дальнейшем не имеет смысла. Процедура продолжается до тех пор, пока набор стратегий не стабилизируется, то есть новые итерации не приведут к удалению каких-либо действий. Если множества стратегий конечны, процедура в какой-то момент останавливается, позволяя получить непустое множество стратегий для каждого игрока. Они и называется рационализируемыми.

Рационализируемость связана с понятием строго доминирования. Стратегия называется строго доминируемой, если существует смешанная стратегия ${\displaystyle \sigma _{i}\in \Delta (S_{i})}$ такая, что

${\displaystyle u_{i}(\sigma _{i},s_{-i})>u_{i}(s_{i},s_{-i})\qquad \forall s_{-i}\in S_{-i}}$

Известно, что при компактности множеств стратегий и непрерывности функций выигрыша стратегия строго доминируема, если не является лучшим ответом на какую бы то ни было веру о поведении оппонента^[4][5][6]. Следовательно, множество рационализируемых стратегий является ещё и продуктом итеративного исключения строго доминируемых стратегий.

• Bernheim, D. (1984) Rationalizable Strategic Behavior. Econometrica 52: 1007-1028.
• Dekel, E., Siniscalchi M. (2014) Epistemic game theory.
• Fudenberg, Drew and Jean Tirole (1993) Game Theory. Cambridge: MIT Press.
• Pearce, D. (1984) Rationalizable Strategic Behavior and the Problem of Perfection. Econometrica 52: 1029-1050.
• Ratcliff, J. (1992–1997) lecture notes on game theory, §2.2: "Iterated Dominance and Rationalizability"