Результант

В математике, результантом ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ двух многочленов ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ над некоторым полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$, старшие коэффициенты которых равны единице, называется выражение

${\displaystyle {\mathcal {R}}=\mathrm {res} (P,Q)=\prod _{(x,y):\,P(x)=0,\,Q(y)=0}(x-y),}$

иными словами, это произведение попарных разностей между их корнями. Произведение здесь берётся по всем корням в алгебраическом замыкании поля ${\displaystyle \mathbb {K} }$ с учётом их кратностей; поскольку получающееся выражение является симметрическим многочленом от корней многочленов ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ (лежащих, быть может, вне поля ${\displaystyle \mathbb {K} }$), оно тем самым оказывается многочленом от коэффициентов ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$. Для многочленов, старшие коэффициенты которых (${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ соответственно) не обязательно равны 1, вышеупомянутое выражение умножается на

${\displaystyle p^{\deg Q}q^{\deg P}.}$

• Основным свойством результанта, и его основным применением, является следующее: результант — многочлен от коэффициентов ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$, равный нулю в том и только в том случае, когда у многочленов ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ имеется общий корень, возможно, в некотором расширении поля ${\displaystyle \mathbb {K} }$.
• Результант может быть найден как определитель матрицы Сильвестра.
• Дискриминант — это, с точностью до знака, результант многочлена и его производной, поделённый на старший коэффициент многочлена; тем самым, дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда у многочлена есть кратные корни.
• ${\displaystyle \mathrm {res} (P_{1}P_{2},Q)=\mathrm {res} (P_{1},Q)\mathrm {res} (P_{2},Q)}$
• ${\displaystyle \mathrm {res} (P,\operatorname {const} )=\operatorname {const} ^{\deg P}}$
• ${\displaystyle \mathrm {res} (AP(x),BQ(x))=A^{\deg Q}B^{\deg P}\mathrm {res} (P(x),Q(x))}$
• Если ${\displaystyle A,C\neq 0,\deg(AP(x)+BQ(x))=\deg(CP(x)+DQ(x))=n\geqslant 1}$, то

${\displaystyle \mathrm {res} (AP(x)+BQ(x),CP(x)+DQ(x))=(AD-BC)^{n}\mathrm {res} (P(x),Q(x))}$

• ${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=0\Leftrightarrow \deg \gcd(P,Q)\geqslant 1}$, т.е. результант тогда и только тогда равен нулю, когда НОД многочленов нетривиален. Вообще, вычисление результанта может быть произведено с помощью алгоритма Евклида, и именно так вычисляется результант в различных матпакетах.
• Для многочленов ${\displaystyle P(x),Q(x)}$ существуют многочлены ${\displaystyle U(x),V(x)}$ с ${\displaystyle \deg {U}\leqslant \deg {P}-1,\deg {V}\leqslant \deg {Q}-1}$ такие, что

${\displaystyle \mathrm {res} (P(x),Q(x))=P(x)V(x)+Q(x)U(x)}$. Многочлены ${\displaystyle U(x),V(x)}$ с ${\displaystyle m=\deg U,n=\deg V}$ могут быть получены из представления результанта определителем в форме Сильвестра, в котором последний столбец заменён на ${\displaystyle (x^{m},...,x,1,0,...,0)^{T}}$ для ${\displaystyle U(x)}$ или на ${\displaystyle (0,...,0,x^{n},...,x,1)^{T}}$ для ${\displaystyle V(x)}$.

• Для сепарабельного многочлена, в частности, для полей характеристики нуль, результант равен произведению значений одного из многочленов по корням другого, как и раньше, произведение берётся с учётом кратности корней:

${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=\prod _{P(x)=0}Q(x).}$

• Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999, 2001, 2003.
• Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения. — СПбГУ, НИИ химии, 2002.

• Статья Weisstein, Eric W. «Resultant» на сайте «MathWorld».