Риманова субмерсия — субмерсия между римановыми многообразиями, которая инфинитезимально является ортогональной проекцией.
Определение
Пусть
и
— римановы многообразия. Гладкое отображение
называется римановой субмерсией, если для любой точки
существует изометрическое линейное вложение
такое, что
есть ортогональная проекция. Здесь
обозначает дифференциал отображения
в точке
.
Для вектора
вектор
называется горизонтальным поднятием
.
Формула О’Нэйла
Пусть
— риманова субмерсия. Тогда для любых векторных полей
,
на
, значение тензора кривизны
можно вычислить, используя формулу О’Нэйла
.
где
— горизонтальные поднятия полей
соответственно,
— вертикальная составляющая скобки Ли векторных полей
на
.
В частности,
,
Замечания
является тензором, то есть его значение в точке зависит только от значений горизонтальных векторов
и
в этой точке.
Следствия
- Абсолютная величина
в точке
зависит только от точки
и значений
и
в точке
. - Если тотальное пространство римановой субмерсии имеет секционную кривизну
, то то же верно и для его базы.
Вариации и обобщения
- Субметрия — 1-липшицево и 1-колипшицево отображение между метрическими пространствами.
Литература
- Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.
- Бессе А. Многообразия Эйнштейна. — М.: Мир, 1990. — ISBN 5-03-002066-7., том 2, стр. 326—379.