Род целой функции

Пусть последовательность нулей ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ целой функции ${\displaystyle f}$ такова, что ряд ${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{p_{n}+1}}$ сходится при ${\displaystyle p_{n}=\rho }$, где ${\displaystyle \rho }$ — некоторое неотрицательное целое число (без ограничения общности будем считать, что это число — наименьшее из обладающих таким свойством). Тогда бесконечное произведение из формулировки теоремы Вейерштрасса приобретает вид:

${\displaystyle f(z)=z^{\lambda }e^{h(z)}\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{2}+\dots +{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{\rho }\right).}$

Если ${\displaystyle h(z)}$ — многочлен степени ${\displaystyle \rho _{1}}$, то ${\displaystyle f}$ называется целой функцией конечного рода, а число ${\displaystyle \max(\rho ;\rho _{1})}$ называется родом целой функции. Если ${\displaystyle h}$ — не многочлен, либо ряд не сходится ни при каких условиях, тогда ${\displaystyle f}$ — целая функция бесконечного рода.

Важность такой характеристики, как род, состоит в том, что с её помощью можно оценить скорость роста целой функции. А именно, рассмотрим величину ${\displaystyle M(r)=\max _{|z|=r}|f(z)|}$. Утверждение теоремы Пуанкаре состоит в том, что скорость роста этой функции связана с её родом. А именно, для целой функции ${\displaystyle f}$ рода ${\displaystyle \rho }$ и произвольного ${\displaystyle \alpha >0}$ существует такое ${\displaystyle r_{0}}$, что при ${\displaystyle r>r_{0}}$ выполняется неравенство ${\displaystyle M(r)<e^{\alpha r^{\rho +1}}}$.