Ряд Дирихле

Рядом Дирихле называется ряд вида

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$

где s и a_n — комплексные числа, n = 1, 2, 3, … .

Абсциссой сходимости ряда Дирихле называется такое число ${\displaystyle \sigma _{c}}$, что при ${\displaystyle \operatorname {Re} s>\sigma _{c}}$ он сходится; абсциссой абсолютной сходимости называется такое число ${\displaystyle \sigma _{a}}$, что при ${\displaystyle \operatorname {Re} s>\sigma _{a}}$ ряд сходится абсолютно. Для любого ряда Дирихле справедливо соотношение ${\displaystyle 0\leqslant \sigma _{a}-\sigma _{c}\leqslant 1}$ (если ${\displaystyle \sigma _{c}}$ и ${\displaystyle \sigma _{a}}$ конечны).

Этот ряд играет значительную роль в теории чисел. Наиболее распространёнными примерами ряда Дирихле являются дзета-функция Римана и L-функция Дирихле. Ряд назван в честь Густава Дирихле.

Если некоторый ряд сходится в комплексной точке ${\displaystyle s_{0}=\sigma _{0}+t_{0}i}$, то этот же ряд сходится в любой точке ${\displaystyle s=\sigma +ti}$, для которой ${\displaystyle \sigma >\sigma _{0}}$. Из этого следует, что существует некоторая точка ${\displaystyle \sigma =\sigma _{c}}$ такая, что при ${\displaystyle \operatorname {Re} s>\sigma _{c}}$ ряд сходится, а при ${\displaystyle \operatorname {Re} s<\sigma _{c}}$ — расходится. Такая точка называется абсциссой сходимости.

Абсциссой абсолютной сходимости для ряда ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$ называется точка ${\displaystyle \sigma _{a}}$ такая, что при ${\displaystyle \operatorname {Re} s>\sigma _{a}}$ ряд сходится абсолютно. Справедливо утверждение о том, что ${\displaystyle 0\leqslant \sigma _{a}-\sigma _{c}\leqslant 1}$.

Поведение функции при ${\displaystyle \operatorname {Re} s}$ может быть различным. Эдмунд Ландау показал, что точка ${\displaystyle s=\sigma _{c}}$ является особой для некоторого ряда Дирихле, если ${\displaystyle \sigma _{c}}$ — его абсцисса сходимости.

• При ${\displaystyle \operatorname {Re} \,s>1}$
  • ${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}$ где ${\displaystyle \zeta (s)}$ — дзета-функция Римана.
  • ${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$, где ${\displaystyle \displaystyle \mu (n)}$ — функция Мёбиуса
  • ${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}}$, где ${\displaystyle \displaystyle \lambda (n)}$ — функция Лиувиля
  • ${\displaystyle \zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s}}}}$, где ${\displaystyle \displaystyle \tau (n)}$ — число делителей числа ${\displaystyle \displaystyle n}$
  • ${\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}}$
  • ${\displaystyle {\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\nu (n)}}{n^{s}}}}$, где ${\displaystyle \displaystyle \nu (n)}$ — число простых делителей числа ${\displaystyle \displaystyle n}$
  • ${\displaystyle {\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n^{2})}{n^{s}}}}$
  • ${\displaystyle {\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\tau (n))^{2}}{n^{s}}}}$
• При ${\displaystyle \operatorname {Re} \,s>2}$
  • ${\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}}$, где ${\displaystyle \displaystyle \varphi (n)}$ —функция Эйлера
• ${\displaystyle {\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}},}$ где ${\displaystyle L(\chi ,s)}$ — L-функция Дирихле.

• ${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{s}}},}$ где Li_s(z) — полилогарифм.

Гармонический ряд

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{k}}+\cdots }$

расходится.