Сглаживающий оператор

Сглаживающие операторы — процедура для построения последовательности гладких функций, приближающей негладкую (обобщённую) функцию. При этом часто используется свёртка. Интуитивно, имея функцию с особенностями и осуществляя её свёртку со сглаживающей функцией, получаем «сглаженную функцию», в которой особенности исходной функции сглажены, хотя функция остаётся близкой к исходной функции.

Сглаживающие операторы ввёл Курт Отто Фридрихс в статье 1944 года^[1]. До этой статьи сглаживающие операторы использовал Сергей Львович Соболев в 1938 года^[2], которая содержит доказательство неравенства Соболева^[англ.], и Фридрихс^[3] признал приоритет Соболева, написав: «Эти сглаживающие операторы были введены Соболевым и автором...».

Если ${\displaystyle \varphi }$ является гладкой функцией на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, n ≥ 1, удовлетворяющей следующим трём требованиям

(1) Функция имеет компактный носитель^[4]

(2) ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\varphi (x)\mathrm {d} x=1}$

(3) ${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\varphi _{\epsilon }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )=\delta (x)}$

где ${\displaystyle \delta (x)}$ — дельта-функция Дирака и предел должен пониматься в пространстве Шварца распределений, тогда ${\displaystyle \varphi }$ является сглаживающим оператором. Функция ${\displaystyle \varphi }$ может удовлетворять дополнительным условиям^[5]. Например, если она удовлетворяет

(4) ${\displaystyle \varphi (x)\geqslant 0}$ для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, то функция называется положительным сглаживающим оператором

(5) ${\displaystyle \varphi (x)=\mu (|x|)}$ для некоторой бесконечно дифференцируемой функции ${\displaystyle \mu :\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} }$, то функция называется симметричным сглаживающим оператором.

Замечание 1. Когда теория распределений не была ещё широко распространена^[6] свойство (3) выше формулировалось следующим образом: свёртка функции ${\displaystyle \scriptstyle \varphi _{\epsilon }}$ с данной функцией, принадлежащей подходящему гильбертову или банахову пространству сходится при ε → 0 к дельта-функции^[7], это в точности то, что писал Фридрихс^[8]. Это также объясняет, почему сглаживающие операторы связаны с аппроксимативными единицами^[англ.].^[9]

Замечание 2. Как кратко указано в разделе «Исторические замечания», первоначально термин «сглаживающий оператор» обозначал следующий оператор свёртки^[9][10]:

${\displaystyle \Phi _{\epsilon }(f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi _{\epsilon }(x-y)f(y)\mathrm {d} y}$,

где ${\displaystyle \scriptstyle \varphi _{\epsilon }(x)=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )}$ и ${\displaystyle \varphi }$ является гладкой функцией, удовлетворяющая первым трём условиям выше и одному или более дополнительным условиям, таким как положительность и симметрия.

Рассмотрим функцию ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (x)}$ от переменной из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}e^{-1/(1-|x|^{2})}/I_{n}&|x|<1\\0&|x|\geqslant 1\end{cases}}}$,

где константа ${\displaystyle I_{n}}$ обеспечивает нормализацию. Легко видеть, что эта функция является бесконечно дифференцируемой (хотя неаналитической) с обращающейся в ноль производной для |x| = 1. Поэтому функция ${\displaystyle \varphi }$ можно взять как ядро сглаживающего оператора описаного выше. Легко видеть что ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (x)}$ определяет положительный симметричный сглаживающий оператор^[11].

Все свойства сглаживающего оператора связаны с его поведением при операции свёртки — мы перечислим те, доказательство которых можно найти в любой книге по теории распределений^[12].

Для любого распределения ${\displaystyle T}$ следующее семейство свёрток, индексированное вещественным числом ${\displaystyle \epsilon }$,

${\displaystyle T_{\epsilon }=T\ast \varphi _{\epsilon }}$,

где ${\displaystyle \ast }$ означает свёртку, является семейством гладких функций.

Для любого распределения ${\displaystyle T}$ , следующее семейство свёрток, индексированное вещественным числом ${\displaystyle \epsilon }$, сходится к ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}T_{\epsilon }=\lim _{\epsilon \to 0}T\ast \varphi _{\epsilon }=T\in D^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$

Для любого распределения ${\displaystyle T}$,

${\displaystyle \mathrm {supp} T_{\epsilon }=\mathrm {supp} (T\ast \varphi _{\epsilon })\subset \mathrm {supp} T+\mathrm {supp} \varphi _{\epsilon }}$,

где ${\displaystyle \mathrm {supp} }$ означает носитель распределения, а ${\displaystyle +}$ означает сумму Минковского.

Основное приложение сглаживающих операторов — доказательство верности свойств негладких функций, которые верны для гладких функций:

В некоторых теориях обобщённых функций сглаживающие операторы используются для определения произведения распределений. А именно, если даны два распределения ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$, предел произведения гладкой функции и распределения

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}S_{\epsilon }\cdot T=\lim _{\epsilon \to 0}S\cdot T_{\epsilon }{\overset {\mathrm {def} }{=}}S\cdot T}$

определяет (если он существует) произведение распределений в различных теориях обобщённых функций.

Очень неформально — сглаживающие операторы используются для доказательства равенства двух различных видов расширений дифференциальных операторов — сильного расширения и слабого расширения^[англ.]. Статья Фридрихса^[13] иллюстрирует эту концепцию довольно хорошо, однако большое число технических деталей, которые потребуется раскрыть, не позволяют полностью привести эту концепцию в нашем кратком описании.

Путём свёртки характеристической функции единичного шара^[англ.] ${\displaystyle B_{1}=\{x:|x|<1\}}$ с гладкой функцией ${\displaystyle \varphi _{1/2}}$ (определённой как в уравнении (3) с ${\displaystyle \scriptstyle \epsilon =1/2}$), получаем функцию

${\displaystyle \chi _{B_{1},1/2}(x)=\chi _{B_{1}}\ast \varphi _{1/2}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\because supp(\varphi _{1/2})=B_{1/2})}$,

которая является гладкой, равняется ${\displaystyle 1}$ на ${\displaystyle B_{1/2}=\{x:|x|<1/2\}}$, с и носитель которой содержится в ${\displaystyle B_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}}$. Это легко видеть, если принять во внимание, что при ${\displaystyle |x|}$ ≤ ${\displaystyle 1/2}$ и ${\displaystyle |y|}$ ≤ ${\displaystyle 1/2}$ выполняется ${\displaystyle |x-y|}$ ≤ ${\displaystyle 1}$. Отсюда, для ${\displaystyle |x|}$ ≤ ${\displaystyle 1/2}$,

${\displaystyle \int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=1}$.

Легко понять, как это построение может быть обобщено для получения гладкой функции, равной единице в окрестности заданного компактного множества и равной нулю в любой точке, расстояние от которой до этого множества больше заданного ${\displaystyle \scriptstyle \epsilon }$^[14]. Такая функция называется (гладкой) обрезающей функцией — такие функции используются для вырезания особенностей данной (обобщённой) функции путём умножения. Умножение на такую функцию не меняет значения (обобщённой) функции только на заданном множестве, но меняет носитель функции.

• Свёртка
• Преобразование Вейерштрасса
• Обобщённая функция, Распределение
• Курт Отто Фридрихс
• Сергей Львович Соболев