Сжимающее отображение

Сжимающее отображение — отображение метрического пространства в себя, уменьшающее расстояние между любыми точками в некотором сильном смысле.

Пусть на метрическом пространстве ${\displaystyle (\mathbb {M} ,d)}$ определено отображение ${\displaystyle A:\mathbb {M} \to \mathbb {M} }$. Оно называется сжимающим на ${\displaystyle \mathbb {M} }$, если существует такое неотрицательное число ${\displaystyle \alpha <1}$, что для любых двух точек ${\displaystyle x,y\in \mathbb {M} }$ выполняется неравенство

${\displaystyle {d(Ax,Ay)\leqslant \alpha \,d(x,y)}}$.

Число ${\displaystyle \alpha }$ часто называют коэффициентом сжатия.

Другими словами, сжимающее отображение — это липшицево отображение метрического пространства в себя, константа Липшица которого строго меньше единицы.

Пусть ${\displaystyle \left(\mathbb {M} ,\,d\right)}$ — полное метрическое пространство. Пусть ${\displaystyle A\colon \mathbb {M} \to \mathbb {M} }$ — сжимающее отображение ${\displaystyle \mathbb {M} }$ в себя. Тогда уравнение ${\displaystyle x=Ax}$ имеет единственное решение ${\displaystyle x^{\ast }\in \mathbb {M} }$, причём

${\displaystyle x^{\ast }=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$

для всякой последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$, удовлетворяющей рекуррентному соотношению ${\displaystyle x_{n+1}=Ax_{n}}$, при любом выборе начальной точки ${\displaystyle x_{0}}$ из ${\displaystyle \mathbb {M} }$. Более того, если ${\displaystyle \alpha }$ — коэффициент сжатия отображения ${\displaystyle A}$, то справедлива следующая оценка погрешности вычисления ${\displaystyle x^{*}}$ с помощью элементов последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$:

${\displaystyle d(x_{n},x^{*})\leqslant {\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}\,d(x_{0},x_{1}).}$^[1]

• (Непрерывность) Пусть ${\displaystyle \mathbb {} A}$ — сжимающее отображение метрического пространства ${\displaystyle (\mathbb {M} ,d)}$. Тогда ${\displaystyle \mathbb {} A}$ — непрерывная функция на ${\displaystyle \mathbb {M} }$.

• (Неподвижная точка) По теореме Банаха у сжимающего отображения на полном метрическом пространстве существует единственная неподвижная точка:

${\displaystyle \mathbb {} x^{*}:Ax^{*}=x^{*}}$.

• (Итерационная последовательность) Если взять произвольный элемент ${\displaystyle x}$ полного метрического пространства и рассмотреть последовательность элементов ${\displaystyle x,Ax,A^{2}x,....}$, то эта итерационная последовательность будет сходиться к неподвижной точке отображения ${\displaystyle A}$.

• Численное решение уравнений
• Доказательство теорем существования и единственности в дифференциальных и интегральных уравнениях.

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с.
• Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.