Симплициальный объём

Симплициальный объём — топологический инвариант, определённый для замкнутых многообразий. Впервые рассмотрен Громовым. Симплициальный объём многообразия ${\displaystyle M}$ обычно обозначается ${\displaystyle \|M\|}$.

Пусть ${\displaystyle M}$ — замкнутое многообразие, тогда

${\displaystyle \|M\|=\inf \sum _{i}|r_{i}|}$,

где ${\displaystyle r_{i}}$ — рациональные коэффициенты в представлении его фундаментального класса ${\displaystyle [M]}$ через сумму сингулярных симплексов.

${\displaystyle [M]=\sum _{i}r_{i}\Delta _{i}.}$

• Теорема Громова: Симплициальный объём многообразия постоянной отрицательной кривизны равен отношению его объёма к объёму регулярного бесконечного симплекса в пространстве Лобачевского той же кривизны.
  • Более того, Симплициальный объём асферического (и даже рационально существенного) многообразия с гиперболической фундаментальной группой положителен.^[1]

• Для любых многообразий ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ той же размерности

  ${\displaystyle \|M\#N\|=\|M\|+\|N\|}$,

где ${\displaystyle \#}$ обозначает связную сумму.

• Существуют положительные числа ${\displaystyle a(m)}$ и ${\displaystyle b(m)}$ такие, что если сумма размерностей ${\displaystyle \dim M+\dim N\leqslant m}$, то

  ${\displaystyle a(m)\cdot \|M\|\cdot \|N\|\leqslant \|M\times N\|\leqslant b(m)\cdot \|M\|\cdot \|N\|}$,

где ${\displaystyle \times }$ обозначает прямое произведение.

• Для любого отображения ${\displaystyle f\colon M\to N}$

  ${\displaystyle \|M\|\geqslant |\deg f|\cdot \|N\|,}$

где ${\displaystyle \deg f}$ обозначает степень отображения ${\displaystyle f}$. В частности:

• Если многообразие ${\displaystyle M}$ допускает отображение ${\displaystyle M\to M}$ степени ${\displaystyle >1}$, то ${\displaystyle \|M\|=0}$.
• Для любого ${\displaystyle n\geqslant 1}$ симплициальный объём ${\displaystyle n}$-мерной сферы равен ${\displaystyle 0}$.

• Теорема Бессона — Куртуа — Гало.^[2] Следующее неравенство

  ${\displaystyle n!\cdot \mathop {\rm {vol}} M>\|M\|}$

выполняется для произвольного замкнутого ${\displaystyle n}$-меного риманова пространства ${\displaystyle M}$ с кривизной Риччи не меньше ${\displaystyle -{\tfrac {1}{n-1}}}$.

• Прасолов, Виктор Васильевич. Элементы теории гомологий. — МЦНМО, 2006. — 448 с. — (Классические направления в математике).