Сингулярные гомологии

Сингулярные гомологии — теория гомологий, в которой инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными, но основное определение требует работы с бесконечномерными пространствами.

Пусть ${\displaystyle X}$ — любое топологическое пространство.

Сингулярный симплекс размерности ${\displaystyle k}$ — это пара ${\displaystyle (\Delta ^{k},f)}$ где ${\displaystyle \Delta ^{k}}$ — это стандартный симплекс ${\displaystyle \langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle }$, а ${\displaystyle f}$ — его непрерывное отображение в ${\displaystyle X}$; ${\displaystyle f:\Delta ^{k}\to X}$.

Группу сингулярных цепей определим как множество формальных линейных комбинаций:

${\displaystyle c_{k}=\sum _{i}z_{i}(\Delta ^{k},f_{i})}$ с целыми (обычно их полагают также ограниченными) коэффициентами ${\displaystyle z_{i}}$.

При этом для линейного отображения ${\displaystyle s_{\pi }:\Delta ^{k}\to \Delta ^{k}}$, определяемого перестановкой ${\displaystyle \pi }$ точек ${\displaystyle (a_{0},a_{1},...~a_{k})}$, полагают ${\displaystyle (\Delta ^{k},f)=(-1)^{\pi }(\Delta ^{k},f\circ s_{\pi })}$.

Граничный оператор ${\displaystyle \partial }$ определяется на сингулярном симплексе ${\displaystyle (\Delta _{k},f)}$ так:

${\displaystyle \partial (\Delta _{k},f)=\sum _{i}(-1)^{i}(\Delta _{k-1},f_{i})}$,

где ${\displaystyle \Delta _{k-1}}$ стандартный ${\displaystyle (k-1)}$-мерный симплекс, а ${\displaystyle f_{i}=f\circ \epsilon _{i}}$, где ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ — это его отображение на ${\displaystyle i}$-ю грань стандартного симплекса ${\displaystyle \Delta ^{k}(\langle a_{0},...~{\hat {a_{i}}},...~a_{k}\rangle )}$.

Аналогично симплициальным гомологиям доказывается что ${\displaystyle \partial \partial =0}$.

Как и раньше вводятся понятия сингулярных циклов — таких цепей ${\displaystyle c_{k}}$, что ${\displaystyle \partial {c_{k}}=0}$, и границ — цепей ${\displaystyle c_{k}=\partial {c_{k+1}}}$ для некоторого ${\displaystyle c_{k+1}}$.

Факторгруппа группы циклов по группе границ ${\displaystyle H_{k}=Z_{k}/B_{k}}$ называется группой сингулярных гомологий.

Найдём, к примеру, сингулярные гомологии пространства из одной точки ${\displaystyle X=*}$.

Для каждой размерности существует только одно-единственное отображение ${\displaystyle f^{k}:\Delta ^{k}\to *}$.

Граница симплекса ${\displaystyle \partial _{k}(\Delta ^{k},f^{k})=\sum (-1)^{i}(\Delta ^{k-1},f_{i}^{k-1})}$, где все ${\displaystyle f_{i}^{k-1}}$ равны, так как отображают симплекс в одну точку (обозначим ${\displaystyle f^{k-1}}$).

Значит:

${\displaystyle \partial (\Delta ^{k},f^{k})=0}$, если ${\displaystyle k}$ нечетно (число членов в сумме четно, а знаки чередуются);

${\displaystyle \partial (\Delta ^{k},f^{k})=(\Delta ^{k-1},f^{k-1})}$, если ${\displaystyle k\not =0}$ и четно;

${\displaystyle \partial (\Delta ^{k},f^{k})=0}$, если ${\displaystyle k=0}$.

Отсюда получаем для нулевой размерности: ${\displaystyle Z_{0}=C_{0}=\mathbb {Z} ;\quad B_{0}=0;\quad H_{0}=\mathbb {Z} .}$

Для нечётной размерности ${\displaystyle k=2n-1:Z_{k}=C_{k}=\mathbb {Z} ;\quad B_{k}=\mathbb {Z} ;\quad H_{k}=0.}$

Для чётной размерности ${\displaystyle k=2n\not =0:Z_{k}=0;\quad B_{k}=0;\quad H_{k}=0.}$

То есть группа гомологий равна ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ для нулевой размерности и равна нулю для всех положительных размерностей.

Можно доказать, что на множестве полиэдров сингулярные гомологии совпадают с ранее определенными симплициальными.

Сингулярные гомологии были введены Лефшецом.