Совершенное пространство

Совершенное топологическое пространство — топологическое пространство, в котором каждое замкнутое множество является G_δ-множеством, то есть представимо в виде счётного пересечения открытых множеств^[1].

Э. Майкл^[англ.] в 1953 году доказал^[2], что совершенные пространства выдерживают умножение на метризуемые, т. е. имеет место следующая теорема: произведение $X\times Y$ совершенного пространства $X$ и метризуемого пространства $Y$ есть совершенное пространство.

Известно^[2], что сами нормальность и наследственная нормальность не сохраняются при умножении на метризуемое пространство, однако произведение совершенно нормального пространства $X$ и метризуемого пространства $Y$ остаётся совершенно нормальным!

Примеры

Прямая $\mathbb {R}$ , отрезок $\mathbb {I}$ , евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ и более общо — любое метризуемое пространство.
Плоскость Немыцкого $L$ является примером тихоновского совершенного неметризуемого пространства.

Примечания

↑ Энгелькинг, 1986, с. 86.
↑ ¹ ² Энгелькинг, 1986, с. 436.

Литература

Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 86,102,436. — 752 с.

Похожие исследовательские статьи

Группой Ли над полем $\text{[math]}$ называется группа $\text{[math]}$ , снабжённая структурой дифференцируемого (гладкого) многообразия над $\text{[math]}$ , причём отображения $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , определённые так:

\text{[math]}

\text{[math]}

Топологи́ческое простра́нство — множество, для элементов которого определено, какие из них близки друг к другу. Является центральным понятием общей топологии.

Хаусдорфово пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее сильной аксиоме отделимости T₂.

В этом глоссарии приведены определения основных терминов, используемых в общей топологии. Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.

Полное метрическое пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится.

<span class="mw-page-title-main">Гомеоморфизм</span>

Гомеоморфи́зм — непрерывная биекция с непрерывной обратной. Является центральным понятием топологии.

Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.

Ка́нторово мно́жество — один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе.

Гильбертов кирпич — тихоновский куб счётного веса, то есть топологическое пространство, гомеоморфное произведению счётного числа копий отрезков $\text{[math]}$ .

База топологии — семейство открытых подмножеств топологического пространства $\text{[math]}$ , такое, что любое открытое множество в $\text{[math]}$ представимо в виде объединения элементов этого семейства.

Прямое произведение — множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов заданных двух непустых исходных множеств. Предполагается, что впервые «декартово» произведение двух множеств ввёл Георг Кантор.

Паракомпактное пространство — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать локально конечное открытое покрытие.

Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор $\text{[math]}$ на гильбертовом пространстве $\text{[math]}$ , который удовлетворяет соотношению:

\text{[math]}

Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.

Ба́наховой алгеброй над комплексным или действительным полем называется ассоциативная алгебра, являющаяся при этом банаховым пространством. При этом умножение в ней должно быть согласовано с нормой:

\text{[math]}

Ёж в общей топологии — пример метризуемого пространства. Строится из центральной точки $\text{[math]}$ , единичного полуинтервала $\text{[math]}$ и произвольного множества $\text{[math]}$ заданной мощности $\text{[math]}$ , называемой колючестью ежа, как:

\text{[math]}

Число Линделёфа — один из кардиналов, характеризующий топологическое пространство: наименьший кардинал $\text{[math]}$ , такой, что из каждого открытого покрытия пространства $\text{[math]}$ можно выбрать подпокрытие мощности не больше $\text{[math]}$ . Стандартное обозначение — $\text{[math]}$ .

Универсальное пространство — топологическое пространство $\text{[math]}$ , такое, что $\text{[math]}$ принадлежит классу $\text{[math]}$ и каждое пространство $\text{[math]}$ из класса $\text{[math]}$ вкладывается в $\text{[math]}$ , то есть $\text{[math]}$ гомеоморфно подпространству пространства $\text{[math]}$ . С помощью универсальных пространств можно свести изучение класса топологических пространств к изучению подпространств конкретного пространства. Часто для доказательства универсальности пространства используется теорема о диагональном отображении.

Полное по Чеху пространство — топологическое пространство, являющееся G-дельта-множеством в некотором объемлющем хаусдорфовом компакте.

Выпуклый конус в линейной алгебре — подмножество векторного пространства над упорядоченным полем, которое замкнуто относительно линейных комбинаций с положительными коэффициентами.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.