Спектральная мера - это отображение, определённое на
-алгебре подмножеств заданного множества, значения которого являются ортогональными проекторами в гильбертовом пространстве.
Определение
Пусть
— измеримое пространство,
— гильбертово пространство,
— множество всех ортогональных проекторов в
.
Отображение
называется спектральной мерой, если удовлетворяет следующим условиям:
- Счетная аддитивность: если
- конечный или счётный набор попарно непересекающихся множеств
и
, то
-
- Полнота:

Здесь под
-
и
-
понимается предел (соотв. сумма ряда) относительно сильной операторной топологии. Например,
-
означает, что
. Для обозначения равномерной операторной сходимости (т.е. сходимости по операторной норме) мы пишем
-
.
С каждой спектральной мерой
можно связать скалярные меры
,
. По определению
. Легко видеть, что мера
положительна для любого
.
Свойства спектральной меры
, - последовательность измеримых множеств.
- Коммутативность:
. - Ортогональность: если
, то
. - Монотонность: если
, то
. - Если последовательность
- расширяющаяся, то
-
. - Если последовательность
- вложенная, то
-
.
Интеграл по спектральной мере
Пусть
- пространство со спектральной мерой.
Случай ограниченной функции
- множество всех
-измеримых простых функций на
.
- разложение пространства
на непересекающиеся подмножества, на которых функция
постоянна и
- значение функции
на
.
Интегралом от функции
по спектральной мере
называется оператор
.
Свойства:
для любых
. Этим свойством оператор
определяется однозначно.
.
.
.
.
-
.
- множество всех
-измеримых,
-ограниченных комплексных функций на
. Продолжим отображение
с нормированной алгебры
на всей банаховой алгебры
.
Интегралом от функции
по спектральной мере
называется значение продолженного отображения
на функции
-
, где
- произвольная последовательность простых функций, сходящаяся к
по норме в
.
Теорема. Отображение
есть изометрический изоморфизм банаховой алгебры
с единицей
и инволюцией
на некоторую коммутативную подалгебру алгебры
с единицей
и инволюцией
.
Следствия:
- Оператор
нормален. - Оператор
самосопряжен
-п.в. функция
вещественна. - Оператор
унитарен
-п.в. функция
.
Для интеграла по спектральной мере имеет место аналог теоремы Лебега о мажорированной сходимости:
Теорема. Пусть последовательность
-ограниченных функций
почти всюду сходится к функции
. Если найдется такая константа
, что
почти всюду для любого
, то
.
Случай неограниченной функции
- пространство всех
-измеримых,
-п.в. конечных функций на
.
Каждой функции
и каждому
сопоставим срезку
, определенную как
, где
- характеристическая функция множества
. Интегралом от
по спектральной мере
назовем оператор
, определенный как предел последовательности
. Более точно, областью определения оператора
служит множество таких
, что последовательность
сходится, а значением - предел этой последовательности.
Имеется эквивалентное определение: в качестве области определения оператора
положим множество
. Для каждого
найдется единственный
удовлетворяющий равенству
для всех
, который по определению служит значением
.
Свойства:
.
.
.
.
.
.- Оператор
замкнут и нормален.
.
.
Спектральная теорема фон Неймана
Спектральная теорема для унитарного оператора
Теорема. Пусть
- унитарный оператор в
, тогда существует единственная спектральная мера
в
, определенная на борелевских подмножествах единичной окружности
такая, что
.
Спектральная теорема для самосопряжённого оператора
Теорема. Пусть
- самосопряженный оператор в
, тогда существует единственная спектральная мера
в
, определённая на борелевских подмножествах в
такая, что
.
Спектральная теорема для нормального оператора
Теорема. Пусть
- нормальный оператор в
, тогда существует единственная спектральная мера
в
, определенная на борелевских подмножествах в
такая, что
.
Применения к эволюционным уравнениям в гильбертовом пространстве
- Уравнение Шредингера:
с начальным условием
, где
- самосопряженный оператор. Решением будет
, где
,
- спектральная мера оператора
. - Параболическое уравнение:
с начальным условием
, где
- самосопряженный положительный оператор. Решением будет
, где
,
- спектральная мера оператора
.
Литература
- М. Ш. Бирман М. З. Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — Лань, 2010. — 458 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-8114-1076-7.
- У. Рудин. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. — 443 с.
См. также