Список матриц

Перейти к навигацииПерейти к поиску
Структура матрицы

Здесь собраны наиболее важные классы матриц, используемые в математике, науке (в целом) и прикладной науке (в частности).

Под матрицей понимается прямоугольный массив чисел, называемых элементами. Матрицы имеют длинную историю исследований и приложений, что приводит к различным способам их классификации. Первая группа матриц удовлетворяет конкретным условиям и ограничениям на их элементы, включая постоянные матрицы. Важный пример матриц такого вида предоставляет единичная матрица:

Обозначается также буквой E. Другие способы классификации матриц связаны либо с их собственными значениями, либо с условиями в виде матричных уравнений (соотношений). Наконец, во многих областях (в физике и в химии) встречаются матрицы специального вида, которые применяются исключительно в этих областях.

Матрицы, определяемые условиями на элементы

Данный ниже список матриц определяется условиями, которые накладываются на элементы матриц. Многие из таких свойств оказываются применимыми только к квадратным матрицам. В квадратной матрице имеются две диагонали: главная диагональ (идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол) и побочная диагональ (идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол).

Матрицы общего вида

Матрицы, представленные ниже, характеризуются тем, что условия на элементы матриц описываются в терминах структуры матрицы. Сюда относится взаимное расположение ненулевых элементов, а также свойства инвариантности относительно матричных преобразований.

НазваниеОписаниеПримечания, пояснения
Бинарная матрицаМатрица, состоящая из нулей и единиц.Синонимы: булевская матрица, логическая матрица.
Матрица альтернансаМатрица, элементы которой представляют собой значения функций в определённых точках.
Нулевая матрицаМатрица, полностью состоящая из нулей.
Антидиагональная матрицаКвадратная матрица, все элементы которой, лежащие вне побочной диагонали, равны нулю.
Антиэрмитова матрицаКвадратная матрица с комплексными элементами, переходящая в себя с изменением знака при операции эрмитова сопряжения (то есть при комплексном сопряжении каждого элемента и последующем транспонировании матрицы), Синоним косо-эрмитовой матрицы.
Антисимметричная матрицаСиноним кососимметричной матрицы.
Стрелочная матрица[англ.]Квадратная матрица, все ненулевые элементы которой являются элементами первого столбца, первой строки или главной диагонали.
Ленточная матрица[англ.]Квадратная матрица, все ненулевые элементы которой примыкают к главной диагонали.
Бидиагональная матрица[англ.]Матрица, все ненулевые элементы которой находятся на главной диагонали и на одной из под- или наддиагонали.
Бисимметричная матрицаКвадратная матрица, симметричная как относительно главной диагонали, так и относительно побочной диагонали.
Блочно-диагональная матрицаБлочная матрица, у которой имеются матрицы только на главной диагонали.
Блочная матрицаМатрица, которая разбита на подматрицы, называемые блоками.
Блочно-трёхдиагональная матрица[англ.]Блочная матрица, чьи блоки организованы так же, как у трёхдиагональной матрицы.
Матрица КошиМатрица, каждый элемент которой имеет вид где и  — две инъективные последовательности
Центросимметричная матрицаМатрица, симметричная относительно своего центра, то есть:
Конференс-матрицаКвадратная матрица с нулевыми элементами на диагонали и элементами вида +1 и −1 вне диагонали, такая, что  — единичная матрица.
Комплексная матрица Адамара[англ.]Матрица, все строки и столбцы которой попарно ортогональны друг другу, а сами элементы унимодулярны.
Положительно полуопределенная матрицаКвадратная матрица с вещественными элементами такая, что квадратичная форма оказывается неотрицательной для каждого неотрицательного .
Диагонально доминирующая матрицаМатрица, элементы которой удовлетворяют указанному здесь условию:
Диагональная матрицаМатрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.
Элементарная матрица[англ.]Матрица, которая получается из единичной при помощи элементарных преобразований.
Эквивалентная матрица[англ.]Матрица, которая получается из другой матрицы при помощи элементарных преобразований над строками или столбцами.
Матрица ФробениусаМатрица, которая получается из единичной при помощи сдвига и добавления нового столбца.
Эрмитова матрица, эрмитово-самосопряжённая матрицаКвадратная матрица с комплексными элементами, переходящая в себя при операции эрмитова сопряжения (то есть при комплексном сопряжении каждого элемента и последующем транспонировании матрицы),
Матрица АдамараКвадратная матрица, составленная из чисел и , столбцы которой ортогональны.
Ганкелева матрицаКвадратная матрица, в которой на всех диагоналях, перпендикулярных главной, стоят равные элементы; также - перевёрнутая Матрица Тёплица.
Матрица ХессенбергаЭто квадратная матрица у которой все элементы лежащие ниже (выше) первой поддиагонали равны нулю.
Целочисленная матрицаМатрица, элементы которой являются целыми числами.
Матрица МетцлераМатрица, у которой все недиагональные компоненты больше или равны нулю.
Неотрицательная матрицаМатрица, все элементы которой неотрицательны.
Блочная матрицаПредставление матрицы, при котором она рассекается вертикальными и горизонтальными линиями на прямоугольные части — блоки.
Матрица перестановкиКвадратная матрица, в которой в каждом столбце и в каждой строке стоит ровно одна единица, а остальные нули. Является матричным представлением перестановки.
Обобщённая матрица перестановки[англ.]Квадратная матрица с ровно одним ненулевым элементом в каждой строке и в каждом столбце.
Персимметричная матрицаМатрица, симметричная относительно побочной диагонали:
Полиномиальная матрицаМатрица, все элементы которой суть полиномы.
Положительная матрицаМатрица, все элементы которой положительны.
Матрица кватернионовМатрица, все элементы которой представляют собой кватернионы.
Матрица знака[англ.]Матрица, все элементы которой равны 1, 0 или −1.
Матрица сигнатуры[англ.]Матрица, все элементы которой равны либо 1, либо −1.
Косоэрмитова матрицаКвадратная комплексная матрица, которая меняет знак при эрмитовом сопряжении.То же, что и антиэрмитова матрица.
Кососимметричная матрицаКвадратная матрица, которая меняет знак при транспонировании, То же, что и антисимметричная матрица.
Небесная матрица[англ.]Ленточная матрица, реорганизованная таким образом, чтобы уменьшить занимаемое пространство.
Разреженная матрицаМатрица, практически полностью состоящая из нулей.Алгоритмы для разреженных матриц позволяют обрабатывать бо́льшие матрицы, чем для плотных
Матрица СильвестраКвадратная матрица, чьи элементы — это коэффициенты двух полиномов.Матрица Сильвестра не вырождена тогда и только тогда, когда два полинома взаимно просты.
Симметричная матрицаКвадратная матрица, которая совпадает со своей транспонированной: ().
Тёплицева матрицаМатрица, у которой на диагоналях стоят одни и те же элементы.
Треугольная матрицаМатрица, у которой все элементы выше главной диагонали нулевые (нижнетреугольная матрица), или матрица, у которой все элементы ниже главной диагонали нулевые (верхнетреугольная матрица).
Трёхдиагональная матрицаМатрица, у которой все ненулевые элементы располагаются на трёх диагоналях: главной, первой сверху и первой снизу.
Унитарная матрицаКвадратная комплексная матрица, обращение которой даёт эрмитово-сопряжённую матрицу,
Специальная унитарная матрицаУнитарная матрица, определитель которой равен единице
Матрица ВандермондаМатрица, строки (или столбцы) которой представляют собой последовательные степени: 1, a, a2, a3, …, an
Матрица Уэлша[англ.]Квадратная матрица размера, равного степени двойки, состоящая из элементов +1 или −1.
Z-матрицаМатрица, все недиагональные элементы которой меньше нуля.

Постоянные матрицы

Матрицы, представленные ниже, характеризуются тем, что их элементы являются одними и теми же для всех возможных размеров матриц.

НазваниеОписаниеУсловия на элементыПримечания
Обменная матрицаБинарная матрица, у которой на побочной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы нулевые.См. Матрица перестановки.
Матрица ГильбертаСм. Ганкелева матрица.
Единичная матрицаКвадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю.
Матрица Лемераaij = min(i, j) ÷ max(i, j)См. положительную симметричную матрицу.
Матрица единицМатрица, все элементы которой суть единицы.
Матрица ПаскаляМатрица, состоящая из элементов треугольника Паскаля.
Матрица ПаулиБлочная матрица, состоящая из блоков размера 2 × 2, каждый из которых представляет собой комплексную эрмитовую и унитарную матрицу.
Матрица Редхеффераaij = 1, если i делится на j или если j = 1; в противном случае, aij = 0.См. (0, 1)-матрица.
Матрица сдвигаМатрица, у которой на одной из побочных диагоналях стоят единицы, а остальные элементы нулевые. или Умножением на эту матрицу элементы сдвигаются на одну позицию.
Нулевая матрицаМатрица, у которой все элементы нулевые.

Преобразованные матрицы

Матрицы, удовлетворяющие условиям на произведения или обратные матрицы

НазваниеОписаниеПримечания
Идемпотентная матрицаМатрица A обладающая свойством A² = AA = A.
Обратимая матрицаКвадратная, имеющая обратную, то есть, такую матрицу B, что AB = BA = I.Обратимые матрицы образуют общую линейную группу.
Инволютивная матрицаКвадратная матрица A, обратная самой себе, то есть AA = I.
Нильпотентная матрицаКвадратная матрица A такая, что Aq = 0 для некоторого положительного q.Эквивалентно, все собственные значения A равны 0.
Нормальная матрицаКвадратная матрица, коммутирующая со своей эрмитово-сопряжённой: AA = AAДля таких матриц справедлива спектральная теорема.
Ортогональная матрицаМатрица, обратная своей транспонированной: A−1 = AT.Такие матрицы образуют ортогональную группу.
Ортонормированная матрицаМатрица, столбцы которой являются ортонормированными векторами.
Вырожденная матрицаКвадратная матрица, которая не является обратимой.
Унимодулярная матрицаКвадратная матрица с целыми коэффициентами, определитель которой равен +1 или −1.
Унипотентная матрицаКвадратная матрица, все собственные значения равны 1.Эквивалентно, AI нильпотентна. См. также унипотентная группа.
Вполне унимодулярная матрицаМатрица, любая обратимая подматрица которой является унимодулярной.Используется линейном программировании при релаксации целых программ.
Весовая матрицаКвадратная матрица, элементы которой принадлежат множеству {0, 1, −1}, так что AAT = wI для некоторого целого w.

Матрицы, используемые в теории графов

Матрицы, используемые в физике

Ссылки

Литература

  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 560 с. — ISBN 5-9221-0524-8.
  • Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1973.