Стефановское течение

Стефановское течение — это явление возникновения гидродинамического течения среды в процессе испарения или роста капель.

Основной причиной возникновения этого течения является условие полного механического равновесия молекул парогазовой среды и капли.

Средний объём на одну молекулу в жидкости значительно меньше среднего объёма на одну молекулу в газе. В случае испаряющейся капли это приводило бы к тому, что концентрация паров у поверхности капли уменьшалась, что приводило бы к падению давления. Соответственно чтобы скомпенсировать этот скачок давления среда обязательно должна стягиваться к поверхности капли, образуя гидродинамическое течение среды, называемое стефановским течением.

Это явление играет большую роль в формировании климата. Его учёт очень важен в расчётах процессов переноса влаги на большие расстояния. Например известный факт, что естественный лес закачивает влажный воздух с океана, компенсируя гравитационный сток воды на больших расстояниях. Это объясняется тем что лес имеет огромную площадь поверхности за счёт листьев, на которых могут оседать капли, которые в процессе испарения могут создать течение среды, распространяющееся на значительные расстояния.

Рассматривается однородная сферическая капля воды, неподвижная относительно бесконечно протяжённой изотропной среды.

Ясно, что в процессе испарения капель очевидно должна поглощаться энергия в виде тепла. В рассматриваемой задаче эти изменения не учитываются. Также в квазистационарном процессе испарения зависимость скорости изменения размеров капли от времени не учитывается в силу того, что эта скорость значительно ниже скорости гидродинамических потоков среды вокруг капли.

Считаем, что концентрация пара у поверхности капли постоянна и равна равновесной концентрации насыщенного пара при заданной температуре над плоской границей раздела двух сред ${\displaystyle n_{\infty }}$, а на удалении от капли равна ${\displaystyle n_{0}}$.

${\displaystyle n(r)=n_{\infty }}$, при ${\displaystyle r=R}$,

${\displaystyle n(r)=n_{0}}$, при ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$.

Вследствие наличия разности концентрации возникает поток водяного пара из области большей концентрации в область меньшей концентрации.

Вследствие однородности среды вектор плотности этого потока ${\displaystyle {\vec {j}}\left(r\right)}$ прямо пропорционален градиенту концентрации ${\displaystyle n\left(r\right)}$, однако направлен в противоположную сторону. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом диффузии ${\displaystyle D=const}$.

${\displaystyle {\vec {j}}\left(r\right)=-D{\frac {dn\left(r\right)}{d{\vec {r}}}}}$

Если считать, что процесс испарения капли связан только с этим потоком (решение стационарной задачи), то поток пара ${\displaystyle I}$ через любую концентрическую с каплей сферическую поверхность с радиусом ${\displaystyle r}$ есть величина постоянная ${\displaystyle I_{0}}$, и определяется выражением:

${\displaystyle I=-4\pi {r^{2}}D{\frac {dn\left(r\right)}{dr}}}$.

Интегрирование этого выражения с учётом граничных условий приводит к формуле Максвелла.

${\displaystyle I={I_{0}}=4\pi RD\left({{n_{\infty }}-{n_{0}}}\right)}$

Приведённое решение предполагает, что существует лишь диффузионный поток пара из капли, однако, должно существовать гидродинамическое течение среды, направленное к поверхности капли. Причиной этого течения является постоянство полного давления ${\displaystyle {\tilde {P}}\equiv P+P'}$ парогазовой среды (иначе в системе отсутствует механическое равновесие, что приводит к неоднородности среды).

Это условие приводит к тому, что наряду с градиентом парциального давления пара ${\displaystyle {\vec {\nabla }}P}$ должен существовать равный и противоположно направленный градиент парциального давления газа ${\displaystyle {\vec {\nabla }}P'}$, что можно записать в виде соотношения (здесь и далее все величины относящиеся к газовой компоненте среды будем обозначать штрихом):

${\displaystyle {\frac {dP}{d{\vec {r}}}}=-{\frac {dP'}{d{\vec {r}}}}}$.

Наличие второго градиента ${\displaystyle {\vec {\nabla }}P'}$ приводит к появлению диффузионного потока газа к поверхности капли, однако в силу того, что суммарный поток ${\displaystyle I'}$ газа на поверхности капли должен быть нулевым, существует обратный гидродинамический поток среды, компенсирующий его.

Сказанное выше может быть записано в виде уравнения:

${\displaystyle D{\frac {dn'\left(r\right)}{d{\vec {r}}}}={\vec {v}}\left(r\right)n'\left(r\right)}$.

Имея в виду очевидное соотношение (давление пропорционально концентрации):

${\displaystyle {\frac {dn'\left(r\right)}{d{\vec {r}}}}=-{\frac {dn\left(r\right)}{d{\vec {r}}}}}$,

скорость гидродинамического течения среды ${\displaystyle {\vec {v}}\left(r\right)}$ выражается в виде:

${\displaystyle {\vec {v}}\left(r\right)=-{\frac {D}{n'\left(r\right)}}{\frac {dn\left(r\right)}{d{\vec {r}}}}}$.

В отличие от решения стационарной задачи, выражение для плотности потока пара ${\displaystyle {\vec {j}}\left(r\right)}$ теперь состоит из двух слагаемых — диффузионного и гидродинамического:

${\displaystyle {\vec {j}}\left(r\right)=-{D{\frac {dn\left(r\right)}{d{\vec {r}}}}+{\vec {v}}\left(r\right)n\left(r\right)}}$.

Соответствующее этой плотности выражение для потока пара ${\displaystyle I}$ через поверхность капли записывается в виде:

${\displaystyle I=4\pi RD\left({{n_{\infty }}-{n_{0}}}\right)\left(1-{\frac {n\left(r\right)}{n'\left(r\right)}}\right)}$.

Поправка на гидродинамическое течение среды, как видно, определяется отношением ${\displaystyle n\left(r\right)/n'\left(r\right)}$ — отношение концентрации паров воды ${\displaystyle n\left(r\right)}$ к концентрации газа ${\displaystyle n'\left(r\right)}$ в парогазовой среде. При нормальных условиях эта величина порядка 1 %.

Впервые на наличие гидродинамического течения среды вокруг испаряющейся капли указал Йозеф Стефан.

Соответствующий этому течению поток частиц парогазовой среды принято называть стефановским.