Стодвадцатиячейник
Стодвадцатиячейник | |
---|---|
![]() Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) стодвадцатиячейника в трёхмерное пространство | |
Тип | Правильный четырёхмерный политоп |
Символ Шлефли | {5,3,3} |
Ячеек | 120 |
Граней | 720 |
Рёбер | 1200 |
Вершин | 600 |
Вершинная фигура | Правильный тетраэдр |
Двойственный политоп | Шестисотячейник |

Пра́вильный стодвадцатияче́йник, или просто стодвадцатияче́йник[1] — один из шести правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Известен также под другими названиями: гекатоникосахор (от др.-греч. ἑκατόν — «сто», εἴκοσι — «двадцать» и χώρος — «место, пространство»), гипердодека́эдр (поскольку является четырёхмерным аналогом додекаэдра), додекаплекс (то есть «комплекс додекаэдров»), полидодека́эдр. Двойственен шестисотячейнику.
Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов[2]. Символ Шлефли стодвадцатиячейника — {5,3,3}.
Все 9 его звёздчатых форм — правильные звёздчатые многоячейники. Из 10 правильных звёздчатых многоячейников лишь один не является звёздчатой формой стодвадцатиячейника.
Описание
Ограничен 120 трёхмерными ячейками — одинаковыми додекаэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен в точности
Его 720 двумерных граней — одинаковые правильные пятиугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.
Имеет 1200 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.
Имеет 600 вершин. В каждой вершине сходятся по 4 ребра, по 6 граней и по 4 ячейки.
В координатах
Стодвадцатиячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы:
- координаты 24 его вершин были всевозможными перестановками чисел
- координаты 64 вершин — всевозможными перестановками
- координаты 64 вершин — всевозможными перестановками где — отношение золотого сечения;
- координаты 64 вершин — всевозможными перестановками
- координаты 96 вершин — всевозможными чётными перестановками
- координаты 96 вершин — всевозможными чётными перестановками
- координаты остальных 192 вершин — всевозможными чётными перестановками
Начало координат будет при этом центром симметрии многоячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.
Проекция вращающегося стодвадцатиячейника в трёхмерное пространство


Ортогональные проекции на плоскость






Метрические характеристики
Если стодвадцатиячейник имеет ребро длины то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как
Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен
радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —
радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —
Примечания
- ↑ Д. К. Бобылёв. Четырехмерное пространство // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- ↑ George Olshevsky. Hecatonicosachoron // Glossary for Hyperspace.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Стодвадцатиячейник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Построение стодвадцатиячейника на YouTube
- Главы 3 и 4: Четвертое измерение . Dimensions. dimensions-math.org. Архивировано 4 марта 2015 года.
Основные выпуклые правильные и однородные политопы в размерностях 2—10 | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Семейство | An | Bn | I₂(p) / Dn | E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / G₂ | H₄ | |||||||
Правильный многоугольник | Правильный треугольник | Квадрат | Правильный p-угольник | Правильный шестиугольник | Правильный пятиугольник | |||||||
Однородный многогранник | Правильный тетраэдр | Правильный октаэдр • Куб | Полукуб | Правильный додекаэдр • Правильный икосаэдр | ||||||||
Однородный многоячейник | Пятиячейник | 16-ячейник • Тессеракт | Полутессеракт | 24-ячейник | 120-ячейник • 600-ячейник | |||||||
Однородный 5-политоп | Правильный 5-симплекс | 5-ортоплекс • 5-гиперкуб | 5-полугиперкуб | |||||||||
Однородный 6-политоп | Правильный 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-гиперкуб | 6-полугиперкуб | 122 • 221 | ||||||||
Однородный 7-политоп | Правильный 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-гиперкуб | 7-полугиперкуб | 132 • 231 • 321 | ||||||||
Однородный 8-политоп | Правильный 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-гиперкуб | 8-полугиперкуб | 142 • 241 • 421 | ||||||||
Однородный 9-политоп | Правильный 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-гиперкуб | 9-полугиперкуб | |||||||||
Однородный 10-политоп | Правильный 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-гиперкуб | 10-полугиперкуб | |||||||||
Однородный n-политоп | Правильный n-симплекс | n-ортоплекс • n-гиперкуб | n-полугиперкуб | 1k2 • 2k1 • k21 | n-пятиугольный многогранник | |||||||
Темы: Семейства политопов • Правильные политопы • Список правильных политопов и их соединений |