Стохастический интеграл

Стохастический интеграл — интеграл вида ${\displaystyle \int f(t)dy(t)}$, где ${\displaystyle {y(t),t\in T}}$ — случайный процесс с независимыми нормальными приращениями. Стохастические интегралы широко используются в стохастических дифференциальных уравнениях. Стохастический интеграл нельзя вычислять как обычный интеграл Стилтьеса^[1].

Введем гильбертово пространство ${\displaystyle H}$ случайных величин ${\displaystyle \xi }$, ${\displaystyle \mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty }$, со скалярным произведением ${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2})=\mathbb {E} \xi _{1}{\bar {\xi _{2}}}}$ и среднеквадратичной нормой ${\displaystyle \left\|\xi _{1}\right\|=\left(\mathbb {E} \left|\xi \right|^{2}\right)^{1/2}}$. Здесь ${\displaystyle \mathbb {E} }$ - обозначает математическое ожидание. В рамках гильбертова пространства можно описать важнейшие характеристики случайных величин, такие как условные математические ожидания, условные вероятности и т.д.^[2]

Пусть ${\displaystyle T}$ - конечный или бесконечный отрезок действительной прямой и на его полуинтервалах вида ${\displaystyle \Delta =\left(s,t\right]\subseteq T}$ задана стохастическая аддитивная функция ${\displaystyle \eta (\Delta )}$ с ортогональными значениями из гильбертова пространства ${\displaystyle H}$ случайных величин ${\displaystyle \xi }$, ${\displaystyle \mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty }$, обладающая свойствами:

• Для любых непересекающихся ${\displaystyle \Delta _{1}}$, ${\displaystyle \Delta _{2}}$, величины ${\displaystyle \eta (\Delta _{1})}$,${\displaystyle \eta (\Delta _{2})}$ являются ортогональными, то есть их скалярное произведение в гильбертовом пространстве равно нулю: ${\displaystyle \left(\eta (\Delta _{1}),\eta (\Delta _{2})\right)=0}$
• Если ${\displaystyle \Delta _{1}}$, ${\displaystyle \Delta _{2}}$ являются непересекающимися полуинтервалами и ${\displaystyle \Delta _{1}\cup \Delta _{2}}$ составляет полуинтервал, то ${\displaystyle \eta (\Delta _{1}\cup \Delta _{2})=\eta (\Delta _{1})+\eta (\Delta _{2})}$
• ${\displaystyle \left\|\eta (\Delta )\right\|^{2}=\left|\Delta \right|}$. Здесь ${\displaystyle \left\|\right\|}$ - норма в гильбертовом пространстве, ${\displaystyle \left|\Delta \right|=t-s}$ при ${\displaystyle \Delta =\left(s,t\right]}$.

Пусть ${\displaystyle \varphi (t)}$ детерминированная функция, удовлетворяющая условию ${\displaystyle \int _{T}\left|\varphi (t)\right|^{2}dt<\infty }$. Рассмотрим последовательность кусочно-постоянных функций ${\displaystyle \varphi _{n}(t)}$, аппроксимирующих функцию ${\displaystyle \varphi (t)}$ так, что ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{T}\left|\varphi (t)-\varphi _{n}(t)\right|^{2}dt\to 0}$,

Стохастическим интегралом ${\displaystyle \int _{T}\varphi (t)\eta (dt)}$ от детерминированной функции ${\displaystyle \varphi (t)}$ называется предел^[3] ${\displaystyle \int _{T}\varphi (t)\eta (dt)=\lim _{n\to \infty }\int _{T}\varphi _{n}(t)\eta (dt)}$

Рассмотрим интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{T}\omega (t)d\omega (t),}$

где ${\displaystyle {\omega (t),t\in T}}$ — винеровский процесс с единичным параметром дисперсии. Разделим интервал ${\displaystyle [0;T]}$ точками ${\displaystyle 0=t_{1},t_{2},...,t_{N},t_{N+1}=T}$ на ${\displaystyle N}$ подинтервалов. Используя предыдущее определение интеграла для детерминированной функции, стохастический интеграл можно определить любым из двух выражений^[4]:

${\displaystyle I_{0}=\lim \sum _{i=1}^{N}\omega (t_{i})[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]}$ или ${\displaystyle I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}\omega (t_{i+1})[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})].}$

Эти интегралы не равны, поскольку, по определению винеровского процесса^[5]

${\displaystyle I_{1}-I_{0}=\lim \sum _{i=1}^{N}[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]^{2}=t.}$

Обобщенный стохастический интеграл можно определить как взвешенную по параметру ${\displaystyle \lambda }$ сумму интегралов ${\displaystyle I_{0}}$ и ${\displaystyle I_{1}}$ следующей формулой^[5]:

${\displaystyle I_{\lambda }=(1-\lambda )I_{0}+\lambda I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}[(1-\lambda )\omega (t_{i})+\lambda \omega (t_{i+1})][\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})],}$

при ${\displaystyle 0\leqslant \lambda \leqslant 1}$. Интеграл ${\displaystyle I_{0}}$ соответствует интегралу Ито, а ${\displaystyle I_{0,5}}$ совпадает с интегралом Стратоновича.

Интеграл Стратоновича имеет вид^[6]

${\displaystyle I=\lim _{N\to \infty }{\dfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}[f(t_{i})+f(t_{i+1})][y(t_{i+1})-y(t_{i})].}$

Интеграл Ито имеет вид^[5]

${\displaystyle \int f(t)dy(t)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}f(t_{i})[y(t_{i+1})-y(t_{i})].}$

Его основные свойства^[5]:

• ${\displaystyle E\int f(t)dy(t)=\int {Ef(t)}dm(t).}$
• ${\displaystyle cov\left[\int f(t)dy(t),\int g(t)dy(t)\right]=\int [Ef(t)g(t)]dr(t).}$

Здесь ${\displaystyle m(t)}$ — функция среднего значения, ${\displaystyle r(t)}$ — ковариационная функция.

Поставим в соответствие каждой траектории одномерного винеровского процесса некоторое число ${\displaystyle \alpha }$. Тогда эту траекторию можно описать посредством стохастической функции ${\displaystyle x(t,\alpha )}$. Интеграл вида

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )}$

называется стохастическим интегралом Винера. Этот интеграл вычисляется интегрированием по частям с учётом равенства ${\displaystyle x(0,\alpha )=0}$^[7]:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=f(1)x(1,\alpha )-\int \limits _{0}^{1}f'(t)x(t,\alpha )dt.}$

Его основные свойства:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}d\alpha \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=0}$^[8].

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}d\alpha \left[\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )\right]^{2}=\int \limits _{0}^{1}f^{2}(t)dt}$^[9].

• Стохастическое исчисление Ито
• Стратонович, Руслан Леонтьевич

• Острём, К. Ю.. Введение в стохастическую теорию управления / пер. с англ. С. А. Анисисмова, Н. Е. Арутюновой, А. Л. Бунича; под ред. Н. С. Райбмана. — М.: Мир, 1973.
• Винер, Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
• Ю.А. Розанов. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1982. — 128 с.