Супернатуральные числа

Супернатуральные числа (иногда также именуемые обобщёнными натуральными числами или числами Штайница) являются обобщением натуральных чисел. Супернатуральное число ${\displaystyle \omega }$ является формальным произведением:

${\displaystyle \omega =\prod _{p}p^{n_{p}},}$

где ${\displaystyle p}$ может быть любым простым числом, а каждое ${\displaystyle n_{p}}$ является или натуральным числом, или бесконечностью. Иногда пишут ${\displaystyle v_{p}(\omega )}$ для обозначения ${\displaystyle n_{p}}$. Если не выполняется условие ${\displaystyle n_{p}=\infty }$ и имеется только конечное число ненулевых ${\displaystyle n_{p}}$, получаем стандартный натуральный ряд. Супернатуральные числа позволяют расширить ряд натуральных чисел, используя возможность бесконечного числа простых факторов, и позволяют любому данному простому числу делить число ${\displaystyle \omega }$ «бесконечнократно», приравнивая показатель экспоненты к бесконечности.

Не существует естественного способа определить сложение на множестве супернатуральных чисел, но их можно перемножать: ${\displaystyle \prod _{p}p^{n_{p}}\cdot \prod _{p}p^{m_{p}}=\prod _{p}p^{n_{p}+m_{p}}}$. Аналогичным образом на них распространяется понятие делимости ${\displaystyle \omega _{1}\mid \omega _{2}}$ если ${\displaystyle v_{p}(\omega _{1})\leq v_{p}(\omega _{2})}$ для всех ${\displaystyle p}$. Можно также ввести для супернатуральных чисел понятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя, определив

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {lcm} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{p}p^{\sup(v_{p}(\omega _{i}))}}$

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {gcd} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{p}p^{\inf(v_{p}(\omega _{i}))}}$

С помощью этих алгоритмов можно как получить наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель для бесконечного количества натуральных чисел, так и провести аналогичную процедуру для супернатуральных чисел.

Обычные p-адические функции можно распространить на супернатуральные числа, определив ${\displaystyle v_{p}(\omega )=n_{p}}$ для каждого ${\displaystyle p}$.

Супернатуральные числа используются для определения порядков и индексов проконечных групп; благодаря этому удалось обобщить на проконечные группы многие теоремы о конечных группах.

• Planet Math: Supernatural number