Гипотеза Пуанкаре́ — доказанная математическая гипотеза о том, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Сформулированная в 1904 году математиком Анри Пуанкаре гипотеза была доказана в серии статей 2002—2003 годов Григорием Перельманом. После подтверждения доказательства математическим сообществом в 2006 году гипотеза Пуанкаре стала первой и единственной на данный момент решённой задачей тысячелетия.
Тор (тороид) — поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не пересекающей её.
Дикий узел — патологическое вложение окружности в пространство.
Ориента́ция — обобщение и формализация понятий направления обхода и направления на прямой на более сложные геометрические объекты, многообразия, векторные расслоения и так далее.
Теория узлов — изучение вложений одномерных многообразий в трёхмерное евклидово пространство или в сферу 
. В более широком смысле предметом теории узлов являются вложения сфер в многообразия и вложения многообразий в целом.
Поверхность Зейферта — вложенная в трёхмерное пространство поверхность, краем которой является данный узел или зацепление. Названа в честь Герберта Зейферта и является полезным инструментом в теории узлов.
Орбифолд, или орбиобра́зие, — неформально говоря, это многообразие с особенностями, которые выглядят как фактор евклидова пространства по конечной группе.
Пример Куперберг — пример бесконечно гладкого векторного поля без особых точек и периодических траекторий на трёхмерной сфере. Построен Кристиной Куперберг, является контрпримером к гипотезе Зейферта.
Уильям Пол Тёрстон — американский математик, один из пионеров маломерной топологии, лауреат премии Филдса (1982).
Слоение — геометрическая конструкция в топологии: говорят, что на многообразии задано слоение размерности 
, если многообразие «нарезано» на «слои» размерности .
Фундаментальным классом, или ориентацией, называется гомологический класс ориентированного многообразия, который соответствует «целому многообразию». Интуитивно фундаментальный класс можно себе представить как сумму симплексов максимальной размерности подходящей триангуляции многообразия.
Трёхмерная сфе́ра — сфера в четырёхмерном пространстве. Состоит из множества точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки в четырёхмерном евклидовом пространстве. Так же, как двумерная сфера, которая образует границу шара в трёх измерениях, 3-сфера имеет три измерения и является границей четырёхмерного шара.
Сфера Пуанкаре — двумерная сфера 
, в декартовых координатах, определяемая параметрами Стокса. В поляризационной оптике введена Анри Пуанкаре в 1892 году . В других разделах физики этой модели соответствует сфера Блоха. От гомологической трёхмерной сферы в физике остается лишь база расслоения Хопфа — сфера Римана. Информация о третьем измерении отбрасывается. Это проективное упрощение позволило изготовить модель расслоения фазового пространства поляризаций в виде шара, что дало возможность наглядно рассчитывать конкретные волновые процессы.
Бинарная группа икосаэдра 2I или <2,3,5> — это неабелева группа порядка 120. Группа является расширением группы икосаэдра I или (2,3,5) порядка 60 циклической группой порядка 2 и является прообразом группы икосаэдра при 2:1 накрывающем гомоморфизме
Гомологическое многообразие — локально компактное топологическое пространство, которое выглядит локально как топологическое многообразие с точки зрения теории гомологий.
Гомологическая сфера — n-мерное многообразие X с гомологиями как у n-мерной сферы. То есть
- H0(X,Z) = Z = Hn(X,Z),
-многообразие — семимерное риманово многообразие с группой голономий или её подгруппой. Они имеют важное значение в теории струн, в частности в М-теории.
Трёхмерное многообразие — топологическое пространство, локально устроенное как трёхмерное евклидово пространство 
. Иными словами, многообразие размерности три. Является центральным понятием трёхмерной топологии.
Трёхмерная топология — раздел топологии, посвященный изучению трёхмерных многообразий. Относится к маломерной топологии.
Маломерная топология — направление в топологии, изучающее многообразия или, в более общем смысле, топологические пространства четырёх или менее размерностей. В частности, к направлению относятся структурная теория 3-многообразий и 4-многообразий, теория узлов и теория кос. Направление можно рассматривать как часть геометрической топологии.
