Сферы Берже

Сферы Берже — однопараметрическое семейство римановых многообразий диффеоморфных трёхмерной сфере, которое часто используется как пример в различных вопросах римановой геометрии. Названы в честь Марселя Берже.

Все сферы Берже могут быть получены сжатием стандартной метрики на трёхмерной сфере вдоль слоёв расслоения Хопфа.

Рассмотрим ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ как сферу в комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$. На ней действует ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\subset \mathbb {C} }$ комплексными умножениями. Таким образом на ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{3}}$ можно построить изометрическое действие ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{1}}$ с помощью комплексных поворотов ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ и сдвигов по ${\displaystyle \mathbb {R} }$. В ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{1}}$ есть однопараметрическое семейство подгрупп ${\displaystyle \mathbb {R} _{\alpha }}$ изоморфных ${\displaystyle \mathbb {R} }$, с элементами типа ${\displaystyle (t,e^{\alpha t})\in \mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{1}}$. Фактор ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{3}}$ по действию ${\displaystyle \mathbb {R} _{\alpha }}$ диффеоморфен ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$, но индуцированная риманова метрика ${\displaystyle g_{\alpha }}$ на нём отличается от стандартной. Полученное риманово многообразие ${\displaystyle (\mathbb {S} ^{3},g_{\alpha })}$ называется сферой Берже.

• Из формулы О’Нэйла, секционная кривизна ${\displaystyle g_{\alpha }}$ положительна.
• При ${\displaystyle \alpha \to \infty }$ пространства ${\displaystyle (\mathbb {S} ^{3},g_{\alpha })}$ коллапсируют к ${\displaystyle \mathbb {S} _{1/2}^{2}}$, стандартной 2-сфере радиуса ${\displaystyle 1/2}$.
• При ${\displaystyle \alpha \to \infty }$, тензор кривизны ${\displaystyle (\mathbb {S} ^{3},g_{\alpha })}$ сходится к тензору кривизны пространства ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {\mathbb {S} } _{1/2}^{2}}$.
• Сферы Берже являются частным случаем левоинвариантных метрик на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}=Spin_{4}}$.
• Круговые сферы в комплексной проективной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$ с метрикой Фубини — Штуди с точностью до коэффициента являются сферами Берже.
• На сферах Берже, окружности в расслоении Хопфа образуют двупараметрическое семейство замкнутых геодезических, которые при достаточно больших ${\displaystyle \alpha }$ являются стабильными, (то есть нельзя добиться уменьшения их длины небольшими шевелениями).