Сходимость по распределению

Сходи́мость по распределе́нию в теории вероятностей — вид сходимости случайных величин.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ и определённые на нём случайные величины $X,X_{n}:\Omega \to \mathbb {R} ^{m},\,n=1,2,\ldots$ . Каждая случайная величина индуцирует вероятностную меру на $\mathbb {R} ^{m}$ , называемую её распределением.

Случайные величины $X_{n}$ сходятся по распределению к случайной величине $X$ , если распределения $\mathbb {P} ^{X_{n}}$ слабо сходятся к распределению $\mathbb {P} ^{X}$ , то есть

\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}f(x)\,\mathbb {P} ^{X_{n}}(dx)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}f(x)\,\mathbb {P} ^{X}(dx)

для любой непрерывной ограниченной^[1]^[2] функции $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ .

Замечания

Пользуясь теоремой о замене меры в интеграле Лебега, последнее равенство может быть переписано следующим образом:

\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} f(X_{n})=\mathbb {E} f(X)

Предел по распределению не единствен. Если распределения двух случайных величин идентичны, то они одновременно являются или не являются пределом по распределению последовательности случайных величин.

Свойства сходимости по распределению

Случайные величины $X_{n}$ сходятся по распределению к $X$ , если их функции распределения $F_{X_{n}}$ сходятся к функции распределения предела $F_{X}$ во всех точках непрерывности последней:

F_{X}\in C(x)\Rightarrow \lim \limits _{n\to \infty }F_{X_{n}}(x)=F_{X}(x)

Если все случайные величины в определении абсолютно непрерывны, и их плотности сходятся:

\lim \limits _{n\to \infty }f_{X_{n}}(x)\to f_{X}(x)

почти всюду,

то

X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X

. Обратное, вообще говоря, неверно!

Сходимость по вероятности (а следовательно и сходимости почти наверное и в $L^{p}$ ) влечёт сходимость по распределению:

X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }X\Rightarrow X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X

Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также

Теорема Слуцкого

Примечания

Похожие исследовательские статьи

Случайная величина — переменная, значения которой представляют собой численные исходы некоторого случайного феномена или эксперимента. Другими словами, это численное выражение результата случайного события. Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей. Для обозначения случайной величины в математике принято использовать греческую букву «кси» $\text{[math]}$ . Если определять случайную величину более строго, то она является функцией $\text{[math]}$ , значения $\text{[math]}$ которой численно выражают исходы $\text{[math]}$ случайного эксперимента. Одним из требований к данной функции будет её измеримость, что служит для отсеивания тех случаев, когда значения данной функции $\text{[math]}$ бесконечно чувствительны к малейшим изменениям в исходах случайного эксперимента. Во многих практических случаях можно рассматривать случайную величину как произвольную функцию из $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ .

Математи́ческое ожида́ние — понятие в теории вероятностей, означающее среднее значение случайной величины. В случае непрерывной случайной величины подразумевается взвешивание по плотности распределения. Математическое ожидание случайного вектора равно вектору, компоненты которого равны математическим ожиданиям компонентов случайного вектора.

Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х, где х — произвольное действительное число. При соблюдении известных условий полностью определяет случайную величину.

Де́льта-фу́нкция — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин, сосредоточенных или приложенных в одной точке.

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их исхода (появления).

Закон нуля или единицы — утверждение в теории вероятностей о том, что всякое остаточное событие, то есть событие, наступление которого определяется лишь сколь угодно удалёнными элементами последовательности независимых случайных событий или случайных величин, имеет вероятность нуль или единица. Закон открыт Андреем Николаевичем Колмогоровым, поэтому иногда называется в его честь.

Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

Ле́мма Фату́ — техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей. Оно даёт одно из условий, при которых предел почти всюду сходящейся функциональной последовательности будет суммируемым.

$\text{[math]}$ — это пространства измеримых функций, таких, что их $\text{[math]}$ -я степень интегрируема, где $\text{[math]}$ .

Центра́льные преде́льные теоре́мы (ЦПТ) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы, имеет распределение, близкое к нормальному.

Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости. В теорию характеристических функций внесли большой вклад Ю. В. Линник, И. В. Островский, К. Р. Рао, Б. Рамачандран.

Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру.

Пло́тность вероя́тности — один из способов задания распределения случайной величины. Во многих практических приложениях понятия «плотность вероятности» и «плотность (распределения) случайной величины» или «функция распределения вероятностей» фактически синонимизируются и под ними подразумевается вещественная функция, характеризующая сравнительную вероятность реализации тех или иных значений случайной переменной (переменных).

Фу́нкция вероя́тности в теории вероятностей — функция возвращающая вероятность того, что дискретная случайная величина $\text{[math]}$ примет определённое значение. Например, пусть $\text{[math]}$ функция вероятности, тогда вероятность того что $\text{[math]}$ примет значение равное 13, вычисляется подстановкой значения $\text{[math]}$ в функцию $\text{[math]}$ , которая уже возвращает вероятность, например, 0.5 - это означает, что $\text{[math]}$ будет принимать значения равные 13 в 50% всех исходов.

Усло́вное распределе́ние в теории вероятностей — это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение.

Условное математическое ожидание в теории вероятностей — это среднее значение случайной величины при выполнении некоторого условия. Часто в качестве условия выступает фиксированное на некотором уровне значение другой случайной величины, которая может быть связана с данной. В этом случае условное математическое ожидание случайной величины $\text{[math]}$ при условии, что случайная величина $\text{[math]}$ приняла значение $\text{[math]}$ обозначается как $\text{[math]}$ , соответственно, ее можно рассматривать как функцию от $\text{[math]}$ . Эта функция называется функцией регрессии случайной величины $\text{[math]}$ на случайную величину $\text{[math]}$ и поэтому условное математическое ожидание обозначают как $\text{[math]}$ , то есть без указания фиксированного значения $\text{[math]}$ .

Сходи́мость по ме́ре в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это вид сходимости измеримых функций, заданных на пространстве с мерой.

Сходи́мость в $\text{[math]}$ в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — вид сходимости измеримых функций или случайных величин.

Теоре́ма Слу́цкого связывает сходимость по мере и слабую сходимость случайных величин. Названа в честь Евгения Евгеньевича Слуцкого.

Теорема Гливе́нко — Канте́лли в математической статистике уточняет результат о сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.