Счастливое число Эйлера

Счастливое число Эйлера — положительное целое число $n$ , для которого выражение $m^{2}-m+n$ является простым числом для всех $m=0,1,\dots n-1$ . Только 6 чисел имеют такое свойство — 2, 3, 5, 11, 17 и 41^[1].

Многочлен $x^{2}+x+41$ ^[2] обнаружен Леонардом Эйлером — он даёт для всех целых значений $x$ от 0 до 40 последовательность простых чисел^[3]:

41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601, 1847, 1933, 2111, 2203, 2297, 2393, 2591, 2693, 2797.

Примечания

↑ последовательность A014556 в OEIS
↑ Заметим, что данный многочлен равен $(x+1)^{2}-(x+1)+41$ , что поясняет его связь с данным выше определением счастливых чисел Эйлера.
↑ последовательность A005846 в OEIS

Литература

F. Le Lionnais, Les Nombres Remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144|1983.
Weisstein, Eric W. Lucky Number of Euler (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Простое число</span> натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя

Просто́е число́ — натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя. Другими словами, натуральное число $\text{[math]}$ является простым, если оно отлично от $\text{[math]}$ и делится без остатка только на $\text{[math]}$ и на само $\text{[math]}$ .

Эта страница содержит список первых 500 простых чисел, а также списки некоторых специальных типов простых чисел.

Число Мерсе́нна — число вида $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — натуральное число; некоторые из таких чисел являются простыми при больших значениях $\text{[math]}$ . Названы в честь французского математика Маре́на Мерсенна, исследовавшего их свойства в XVII веке.

Непрерывная дробь — это конечное или бесконечное математическое выражение вида

\text{[math]}

Факториа́л — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается $\text{[math]}$ , произносится эн факториа́л. Факториал натурального числа $\text{[math]}$ определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до $\text{[math]}$ включительно:

\text{[math]}

Дружественные числа — пара различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. То есть, пару натуральных чисел $\text{[math]}$ называют дружественной, если:

\text{[math]}

\text{[math]}

Числа-близнецы — пары простых чисел, отличающихся на 2.

97 — натуральное число, расположенное между числами 96 и 98.

Фигурные числа — числа, которые можно представить с помощью геометрических фигур. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам, которые развивали алгебру на геометрической основе и представляли любое положительное целое число в виде набора точек на плоскости. Отголоском этого подхода остались выражения «возвести число в квадрат» или «в куб».

<span class="mw-page-title-main">Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера</span> список одноимённых объектов

Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера, что породило шуточное фольклорное правило: «В математике принято называть открытие именем второго человека, который его сделал — иначе пришлось бы всё называть именем Эйлера».

Псевдопростое число — натуральное число, обладающее некоторыми свойствами простых чисел, являясь тем не менее составным. В зависимости от рассматриваемых свойств существует несколько различных типов псевдопростых чисел.

163 — натуральное число, расположенное между числами 162 и 164.

В математике степень простого числа — это простое число, возведённое в целую положительную степень.

Ска́терть У́лама — названная в честь Станислава Улама спираль чисел натурального ряда, на которой отмечены клетки, соответствующие простым числам.

Теория чисел — это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем, попытки решения которых предпринимались математиками в течение десятков, а иногда даже сотен лет, но которые пока так и остаются открытыми. Ниже приведены некоторые из наиболее известных нерешённых проблем.

Квадра́тное пирамида́льное число́ — пространственное фигурное число, представляющее пирамиду, с квадратным основанием. Квадратные пирамидальные числа также выражают количество квадратов со сторонами, параллельными осям координат, в решётке из N × N точек.

В математике Константа Ландау — Рамануджана является результатом теории чисел о плотности сумм двух квадратов целых чисел на числовой оси. Эта теорема была доказана независимо Эдмундом Ландау и Сринивасой Рамануджаном.

Числа Фибоначчи образуют определённую с помощью рекурсии последовательность

\text{[math]}

\text{[math]}

\text{[math]}

для целого числа

\text{[math]}

Чи́сла Э́йлера II ро́да обозначаются $\text{[math]}$ и определяются как количество перестановок мультимножества $\text{[math]}$ , обладающих тем свойством, что для каждого $\text{[math]}$ подсчитываются все числа, большие чем $\text{[math]}$ , встречающиеся между двумя вхождениями $\text{[math]}$ в перестановке, и имеющих ровно $\text{[math]}$ «подъёмов».

Колоссально избыточное число — натуральное число $\text{[math]}$ , которое в определённом строгом смысле имеет много делителей: существует $\text{[math]}$ такое, что для всех $\text{[math]}$ :

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.