Телесный угол

Теле́сный у́гол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и многогранные углы. Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность. Обозначается телесный угол обычно буквой Ω.

Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы:

${\displaystyle \Omega \,=\,{S \over R^{2}}.}$

Двойственный телесный угол к данному телесному углу Ω определяется как угол, состоящий из лучей, образующих с любым лучом угла Ω неострый угол.

Телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) величинами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан, равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса r поверхность с площадью r². Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла. Полная сфера образует телесный угол, равный 4π стерадиан (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Полный телесный угол иногда называют спат (англ. spat)^[1].

Телесный угол имеет нулевую физическую размерность.

Коэффициенты пересчёта единиц телесного угла.

${\displaystyle \Omega }$	Стерадиан (ср)	Кв. градус (☐°)	Кв. минута (☐′)	Кв. секунда (☐′′)	Полный угол (спат)
1 стерадиан =	1	(180/π)² ≈ ≈ 3282,806 кв. градусов	(180×60/π)² ≈ ≈ 1,1818103⋅107 кв. минут	(180×60×60/π)² ≈ ≈ 4,254517⋅1010 кв. секунд	1/4π ≈ ≈ 0,07957747 полного угла
1 кв. градус =	(π/180)² ≈ ≈ 3,0461742⋅10−4 стерадиан	1	60² = = 3600 кв. минут	(60×60)² = = 12 960 000 кв. секунд	π/(2×180)² ≈ ≈ 2,424068⋅10−5 полного угла
1 кв. минута =	(π/(180×60))² ≈ ≈ 8,461595⋅10−8 стерадиан	1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10−4 кв. градусов	1	60² = = 3600 кв. секунд	π/(2×180×60)² ≈ ≈ 6,73352335⋅10−9 полного угла
1 кв. секунда =	(π/(180×60×60))² ≈ ≈ 2,35044305⋅10−11 стерадиан	1/(60×60)² ≈ ≈ 7,71604938⋅10−8 кв. градусов	1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10−4 кв. минут	1	π/(2×180×60×60)² ≈ ≈ 1,87042315⋅10−12 полного угла
Полный угол =	4π ≈ ≈ 12,5663706 стерадиан	(2×180)²/π ≈ ≈ 41252,96125 кв. градусов	(2×180×60)²/π ≈ ≈ 1,48511066⋅108 кв. минут	(2×180×60×60)²/π ≈ ≈ 5,34638378⋅1011 кв. секунд	1

Для произвольной стягивающей поверхности S телесный угол Ω, под которым она видна из начала координат, равен

${\displaystyle \Omega =\int \limits _{S}d\Omega =\iint \limits _{S}\sin \vartheta \,d\varphi \,d\vartheta =\int \limits _{S}{\frac {(\mathbf {r} /r)\cdot \mathbf {n} dS}{r^{2}}},}$

где ${\displaystyle r,\vartheta ,\varphi }$ — сферические координаты элемента поверхности ${\displaystyle dS,}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — его радиус-вектор, ${\displaystyle \mathbf {n} }$ — единичный вектор, нормальный к ${\displaystyle dS.}$

1. Полный телесный угол (полная сфера) равен 4π стерадиан.
2. Сумма всех телесных углов, двойственных к внутренним телесным углам выпуклого многогранника, равна полному углу.

• Треугольник с координатами вершин ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$, ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}}$ виден из начала координат под телесным углом

${\displaystyle \Omega =2\,\mathrm {arctg} \,{\frac {\left\vert (\mathbf {r} _{1}\mathbf {r} _{2}\mathbf {r} _{3})\right\vert }{r_{1}r_{2}r_{3}+(\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{2})r_{3}+(\mathbf {r} _{2}\cdot \mathbf {r} _{3})r_{1}+(\mathbf {r} _{3}\cdot \mathbf {r} _{1})r_{2}}},}$

где ${\displaystyle (\mathbf {r} _{1}\mathbf {r} _{2}\mathbf {r} _{3})}$ — смешанное произведение данных векторов, ${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j})}$ — скалярные произведения соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).

• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса с углом раствора α равен ${\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right).}$ Если известны радиус основания ${\displaystyle R}$ и высота ${\displaystyle H}$ конуса, то ${\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-{\frac {H}{\sqrt {R^{2}+H^{2}}}}\right).}$ Когда угол раствора конуса мал, ${\displaystyle \Omega \approx {\frac {\pi \alpha ^{2}}{4}}}$ (угол ${\displaystyle \alpha }$ выражен в радианах), или ${\displaystyle \Omega \approx 0{,}000239\alpha ^{2}}$ (угол ${\displaystyle \alpha }$ выражен в градусах). Так, телесный угол, под которым с Земли видны Луна и Солнце (их угловой диаметр примерно равен 0,5°), составляет около 6⋅10⁻⁵ стерадиан, или ≈0,0005 % площади небесной сферы (то есть полного телесного угла).
• Телесный угол двугранного угла в стерадианах равен удвоенному значению двугранного угла в радианах.
• Телесный угол трёхгранного угла выражается по теореме Люилье через его плоские углы ${\displaystyle \theta _{a},\theta _{b},\theta _{c}}$ при вершине, как:

${\displaystyle \Omega =4\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}},}$ где ${\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}}$ — полупериметр.

Через двугранные углы ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ телесный угол выражается как:

${\displaystyle \Omega =\alpha +\beta +\gamma -\pi .}$

• Телесный угол при вершине куба (или любого другого прямоугольного параллелепипеда) равен ${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$ полного телесного угла, или ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ стерадиан.
• Телесный угол, под которым видна грань правильного N-гранника из его центра, равна ${\displaystyle {\frac {1}{N}}}$ полного телесного угла, или ${\displaystyle {\frac {4\pi }{N}}}$ стерадиан.

• 

  Телесный угол, под которым виден круг радиусом R из произвольной точки пространства (то есть телесный угол при вершине произвольного кругового конуса, не обязательно прямого) вычисляется с использованием полных эллиптических интегралов 1-го и 3-го рода^[2]:

${\displaystyle \Omega =2\pi +{\frac {2H}{L}}\left({\frac {r-R}{r+R}}\,\Pi (\alpha ^{2},k)-K(k)\right)}$ при ${\displaystyle r\leq R,}$

${\displaystyle \Omega ={\frac {2H}{L}}\left({\frac {r-R}{r+R}}\,\Pi (\alpha ^{2},k)-K(k)\right)}$ при ${\displaystyle r>R,}$

где ${\displaystyle K(k)}$ и ${\displaystyle \Pi (\alpha ^{2},k)}$ — полные нормальные эллиптические интегралы Лежандра 1-го и 3-го рода, соответственно;

${\displaystyle r}$ — расстояние от центра основания конуса до проекции вершины конуса на плоскость основания;

${\displaystyle H}$ — высота конуса;

${\displaystyle L={\sqrt {H^{2}+(r+R)^{2}}}}$ — длина максимальной образующей конуса;

${\displaystyle k={\frac {\sqrt {4rR}}{L}};}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {\sqrt {4rR}}{r+R}}.}$

• Hopf H. Selected Chapters of Geometry // ETH Zürich lecture, pp. 1—2, 1940.
• Van Oosterom A., Strackee J. The Solid Angle of a Plane Triangle (англ.) // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. — 1983. — Vol. 30. — P. 125—126. — ISSN 0018-9294. — doi:10.1109/TBME.1983.325207. — PMID 6832789. [исправить]
• Weisstein E. W. Solid Angle. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
• Gardner R.P., Verghese K. On the solid angle subtended by a circular disc (англ.) // Nuclear Instruments and Methods. — 1971. — Vol. 93. — P. 163—167. — doi:10.1016/0029-554X(71)90155-8. — Bibcode: 1971NucIM..93..163G. [исправить]

• Угол
• Двугранный угол
• Трёхгранный угол
• Многогранный угол