Тензорное произведение

Тензорное произведение — операция над векторными пространствами, а также над элементами (векторами, матрицами, операторами, тензорами и т. д.) перемножаемых пространств.

Тензорное произведение линейных пространств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ есть линейное пространство, обозначаемое ${\displaystyle A\otimes B}$. Для элементов ${\displaystyle a\in A}$ и ${\displaystyle b\in B}$ их тензорное произведение ${\displaystyle a\otimes b}$ лежит в пространстве ${\displaystyle A\otimes B}$.

Обозначение тензорного произведения произошло по аналогии с обозначением для декартова произведения множеств.

Пусть ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — конечномерные векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i=1\dots n}}$ — базис в ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1\dots m}}$ — базис в ${\displaystyle B}$. Тензорным произведением ${\displaystyle A\otimes B}$ пространств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ будем называть векторное пространство, порождённое элементами ${\displaystyle e_{i}\otimes f_{k}}$, называемыми тензорными произведениями базисных векторов. Тензорное произведение ${\displaystyle a\otimes b}$ произвольных векторов ${\displaystyle a\in A,~b\in B}$ можно определить, полагая операцию ${\displaystyle \otimes }$ билинейной:

${\displaystyle (\lambda a_{1}+\mu a_{2})\otimes b=\lambda \,a_{1}\otimes b+\mu \,a_{2}\otimes b,~~\lambda ,\mu \in K}$

${\displaystyle a\otimes (\lambda b_{1}+\mu b_{2})=\lambda \,a\otimes b_{1}+\mu \,a\otimes b_{2},~~\lambda ,\mu \in K}$

При этом тензорное произведение произвольных векторов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ выражается как линейная комбинация базисных векторов ${\displaystyle e_{i}\otimes f_{k}}$. Элементы в ${\displaystyle A\otimes B}$, представимые в виде ${\displaystyle a\otimes b}$, называются разложимыми.

Хотя тензорное произведение пространств определяется через выбор базисов, его геометрические свойства не зависят от этого выбора.

Тензорное произведение — это в некотором смысле наиболее общее пространство, в которое можно билинейно отобразить исходные пространства. А именно, для любого другого пространства ${\displaystyle C}$ и билинейного отображения ${\displaystyle \otimes ^{\prime }:A\times B\to C}$ существует единственное линейное отображение ${\displaystyle f:A\otimes B\to C}$ такое, что

${\displaystyle \otimes ^{\prime }=f\circ \otimes ,}$

где ${\displaystyle \circ }$ обозначает композицию функций.

В частности, отсюда следует, что тензорное произведение не зависит от выбора базисов в ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, так как все удовлетворяющие универсальному свойству пространства ${\displaystyle A\otimes B}$ оказываются канонически изоморфны.

Таким образом, задание произвольного билинейного отображения ${\displaystyle L^{2}\ni \varphi :A\times B\to C}$ эквивалентно заданию линейного отображения ${\displaystyle L\ni \varphi :A\otimes B\to C}$: пространства ${\displaystyle \ L^{2}(A\times B,C)}$ и ${\displaystyle L(A\otimes B,C)}$ являются канонически изоморфными.

Приведенное универсальное свойство может быть продолжено на произведения более чем двух пространств. Например, пусть ${\displaystyle V_{1}}$, ${\displaystyle V_{2}}$, и ${\displaystyle V_{3}}$ — три векторных пространства. Тензорное произведение ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}}$ вместе с трилинейным отображением из прямого произведения

${\displaystyle \varphi :V_{1}\times V_{2}\times V_{3}\to V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}}$

имеет такой вид, что любое трилинейное отображение ${\displaystyle F}$ из прямого произведения в векторное пространство ${\displaystyle W}$

${\displaystyle F:V_{1}\times V_{2}\times V_{3}\to W}$

единственным образом пропускается через тензорное произведение:

${\displaystyle F=L\circ \varphi }$

где ${\displaystyle L}$ — линейное отображение. Тензорное произведение характеризуется этим свойством однозначно, с точностью до изоморфизма. Результат приведенной конструкции совпадает с повторением тензорного произведения двух пространств. Например, если ${\displaystyle V_{1}}$, ${\displaystyle V_{2}}$ и ${\displaystyle V_{3}}$ — три векторных пространства, то существует (естественный) изоморфизм

${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}\cong V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})\cong (V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}.}$

В общем случае тензорное произведение произвольного индексированного семейства множеств ${\displaystyle V_{i}}$, ${\displaystyle i\in I}$ определяется как универсальный объект для полилинейных отображений из прямого произведения ${\displaystyle \textstyle \prod _{i\in I}V_{i}}$.

Пусть ${\displaystyle n}$ — произвольное натуральное число. Тогда ${\displaystyle n}$-й тензорной степенью пространства ${\displaystyle V}$ называется тензорное произведение ${\displaystyle n}$ копий ${\displaystyle V}$:

${\displaystyle V^{\otimes n}\;{\overset {\mathrm {def} }{=}}\;\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n}.}$

Тензорное произведение действует также на линейных отображениях. Пусть ${\displaystyle A\colon U_{1}\to U_{2}}$, ${\displaystyle B\colon W_{1}\to W_{2}}$ — линейные операторы. Тензорное произведение операторов ${\displaystyle A\otimes B\colon U_{1}\otimes W_{1}\to U_{2}\otimes W_{2}}$ определяется по правилу

${\displaystyle (A\otimes B)(u\otimes w)=(Au)\otimes (Bw),~~u\in U_{1},\,w\in W_{1}}$

После этого определения тензорное произведение становится бифунктором из категории векторных пространств в себя, ковариантным по обоим аргументам.^[1]

Если матрицы операторов A и B при некотором выборе базисов имеют вид

${\displaystyle \mathrm {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \mathrm {B} ={\begin{bmatrix}b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}}$

то матрица их тензорного произведения запишется в базисе, образованном тензорным произведением базисов, в виде блочной матрицы

${\displaystyle \mathrm {A} \otimes \mathrm {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}=}$

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}}$

Соответствующая операция над матрицами называется кронекеровским произведением, по имени Леопольда Кронекера.

(Матричное) умножение вектора-столбца справа на вектор-строку описывет их тензорное произведение:

${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \leftrightarrow {\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\a_{4}b_{1}&a_{4}b_{2}&a_{4}b_{3}\end{bmatrix}}.}$

• ${\displaystyle \dim A\otimes B=\dim A\cdot \dim B}$

Следующие алгебраические свойства основаны на каноническом изоморфизме:

• Ассоциативность

${\displaystyle (A\otimes B)\otimes C\simeq A\otimes (B\otimes C)}$

• Формально говоря, тензорное произведение не коммутативно, но существует естественный изоморфизм ${\displaystyle A\otimes B\to B\otimes A}$
• Линейность

${\displaystyle A\otimes (B\oplus C)\simeq (A\otimes B)\oplus (A\otimes C)}$

${\displaystyle \oplus }$ — внешняя сумма линейных пространств.

Пусть ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$ — модули над некоторым коммутативным кольцом ${\displaystyle R}$. Тензорным произведением модулей называется модуль ${\displaystyle B}$ над ${\displaystyle R}$, данный вместе с полилинейным отображением ${\displaystyle f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B}$ и обладающий свойством универсальности, то есть такой, что для всякого модуля ${\displaystyle C}$ над ${\displaystyle R}$ и любого полилинейного отображения ${\displaystyle g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to C}$ существует единственный гомоморфизм модулей ${\displaystyle h\colon B\to C}$ такой, что диаграмма

коммутативна. Тензорное произведение обозначается ${\displaystyle A_{1}\otimes \ldots \otimes A_{n}}$. Из универсальности тензорного произведения следует, что оно определено однозначно с точностью до изоморфизма.

Для доказательства существования тензорного произведения любых модулей над коммутативным кольцом построим свободный модуль ${\displaystyle M}$, образующими которого будут n-ки элементов модулей ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ где ${\displaystyle x_{i}\in A_{i}}$. Пусть ${\displaystyle N}$ — подмодуль ${\displaystyle M}$, порождаемый следующими элементами:

1. ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{i}+y_{i},\dots ,x_{n})-(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})-(x_{1},\dots ,y_{i},\dots ,x_{n})}$
2. ${\displaystyle (x_{1},\dots ,\lambda x_{i},\dots ,x_{n})-\lambda (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})}$

Тензорное произведение определяется как фактормодуль ${\displaystyle B=M/N}$, класс ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})+N}$ обозначается ${\displaystyle x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}}$, и называется тензорным произведением элементов ${\displaystyle x_{i}}$, a ${\displaystyle f}$ определяется как соответствующее индуцированное отображение.

Из 1) и 2) следует что отображение ${\displaystyle f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B}$ полилинейно. Докажем, что для любого модуля ${\displaystyle C}$ и любого полилинейного отображения ${\displaystyle g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to C}$ существует единственный гомоморфизм модулей ${\displaystyle h}$, такой, что ${\displaystyle g=h\circ f}$.

В самом деле, так как ${\displaystyle M}$ свободен, то существует единственное отображение ${\displaystyle h^{*}}$, делающее диаграмму

коммутативной, а в силу того, что ${\displaystyle g}$ полилинейно, то на ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle h^{*}(N)=0}$, отсюда, переходя к индуцированному отображению, получаем, что ${\displaystyle h\colon M/N\to C}$, будет тем самым единственным гомоморфизмом, существование которого и требовалось доказать.

Элементы ${\displaystyle A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}}$, представимые в виде ${\displaystyle x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}}$, называются разложимыми.

Если ${\displaystyle f_{i}\colon A_{i}\to B_{i}}$ — изоморфизмы модулей, то индуцированный гомоморфизм, соответствующий билинейному отображению

${\displaystyle f_{1}\otimes \dots \otimes f_{n}\colon A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}\to B_{1}\otimes \dots \otimes B_{n}}$

существующий по свойству универсальности, называется тензорным произведением гомоморфизмов ${\displaystyle f_{i}}$.

Особенно простой случай получается в случае свободных модулей. Пусть ${\displaystyle e_{i1},\dots ,e_{in}}$ — базис модуля ${\displaystyle A_{i}}$. Построим свободный модуль ${\displaystyle F}$ над нашим кольцом, имеющий в качестве базиса элементы, соответствующие n-кам ${\displaystyle (e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})}$, определив отображение ${\displaystyle f(e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})\to (e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})}$ и распространив его на ${\displaystyle A_{1}\times \dots \times A_{n}}$ по линейности. Тогда ${\displaystyle F}$ является тензорным произведением, где ${\displaystyle (e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})}$ является тензорным произведением элементов ${\displaystyle e_{1m}\otimes e_{2p}\otimes \dots \otimes e_{ns}}$. Если число модулей и все их базисы конечны, то

${\displaystyle \mathrm {rank} (A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n})=\mathrm {rank} \,A_{1}\cdot \dots \cdot \mathrm {rank} \,A_{n}}$.

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1976. — 648 с.

• Свёртка тензора
• Тензор
• Тензорное поле
• Тензорная алгебра
• Тензорное произведение графов