Тензоры в физической кинетике

Основные уравнения механики сплошной среды – непрерывности, движения и энергии – демонстрируют причины изменения во времени плотностей трех основных механических величин: массы ${\displaystyle \mathrm {m} }$, импульса ${\displaystyle \mathrm {\vec {p}} }$ и энергии ${\displaystyle \varepsilon }$.

При этом:

• первое слагаемое левой части каждого из названных уравнений представляет собой изменение плотности (количества в единице объема) соответствующей величины в единицу времени;
• второе – результат обмена этой величиной выделенного единичного объема с соседними объемами;
• третье – изменение плотности соответствующей величины в единицу времени под действием внешних сил;
• правая часть – изменение плотности соответствующей величины в единицу времени в результате столкновений частиц в объеме.

При описании газа заряженных частиц одной из форм уравнения непрерывности является закон сохранения заряда в дифференциальной форме, в котором количество вещества представлено не массой ${\displaystyle \mathrm {m} }$, а зарядом ${\displaystyle \mathrm {q} }$.

Общими характеристиками массы, заряда, импульса и энергии являются:

• сохраняемость в замкнутых системах;
• аддитивность.

Однако, по одному признаку импульс в этом списке стоит особняком. А именно: масса, заряд и энергия – скаляры. Соответственно плотности массы, заряда и энергии – скаляры, плотности потока массы, заряда и энергии – векторы.

Импульс же сам является вектором. Соответственно, плотность импульса есть вектор – полностью описывается тремя величинами. Плотность же потока импульса полностью описывается уже девятью величинами: любая из трех проекций импульса вместе с частицей может переноситься в любом из трех пространственных направлений. Таким образом, плотность потока импульса представляет собой тензор второго ранга (кинетический тензор):

${\displaystyle \mathbf {\Pi } ={\begin{array}{|ccc|}\Pi _{11}&\Pi _{12}&\Pi _{13}\\\Pi _{21}&\Pi _{22}&\Pi _{23}\\\Pi _{31}&\Pi _{32}&\Pi _{33}\\\end{array}}}$, ${\displaystyle \mathrm {\Pi _{mn}=m\textstyle \int f({\vec {\mathrm {v} }})\mathrm {v} _{m}\mathrm {v} _{n}d^{3}\mathrm {v} } }$,

где

• ${\displaystyle \Pi _{mn}}$ – количество ${\displaystyle \mathrm {m} }$-й проекции импульса, которое в единицу времени переносится через единицу поверхности в ${\displaystyle \mathrm {n} }$-м направлении.
• ${\displaystyle \mathrm {f({\vec {\mathrm {v} }})} }$ – функция распределения частиц по скоростям.

Можно заметить, что половина следа (суммы диагональных компонент) кинетического тензора равна плотности кинетической энергии:

${\displaystyle \mathrm {{\Pi _{11}+\Pi _{22}+\Pi _{33} \over 2}={m \over 2}\textstyle \int f({\vec {\mathrm {v} }})(\mathrm {v} _{1}^{2}+\mathrm {v} _{2}^{2}+\mathrm {v} _{3}^{2})d^{3}\mathrm {v} =\varepsilon _{K}^{(V)}} }$

В результате форма записи уравнения движения в традиционном представлении отличается от формы записи уравнений непрерывности:

${\displaystyle \mathrm {{\partial \ \rho \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\vec {p}}^{(V)}={\delta \ \rho \over \delta \ t}} }$

и энергии:

${\displaystyle \mathrm {{\partial \ \varepsilon ^{(V)} \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\vec {q}}-{\vec {V}}\cdot {\vec {F}}^{(V)}={\delta \ \varepsilon ^{(V)} \over \delta \ t}} }$.

А именно:

${\displaystyle \mathrm {{\partial \ p_{m}^{(V)} \over \partial \ t}+\sum _{mn}{\partial \ \Pi _{mn} \over \partial \ r_{n}}-F_{m}^{(V)}={\delta \ p_{m}^{(V)} \over \delta \ t}} }$

где:

• ${\displaystyle \rho }$ – плотность массы;
• ${\displaystyle \mathrm {{\vec {p}}^{(V)}=\rho {\vec {V}}} }$– плотность потока массы, математически тождественная плотности импульса;
• ${\displaystyle \mathrm {\vec {V}} }$ – среднемассовая скорость;
• ${\displaystyle \mathrm {\varepsilon ^{(V)}=\varepsilon _{K}^{(V)}+{\rho \over m}\varepsilon _{\chi }} }$ – плотность энергии;
• ${\displaystyle \mathrm {\mathrm {{\vec {q}}={m \over 2}\textstyle \int f({\vec {\mathrm {v} }})\mathrm {v} ^{2}{\vec {\mathrm {v} }}\ d^{3}\mathrm {v} +\textstyle \int f({\vec {\mathrm {v} }})\varepsilon _{\chi }{\vec {\mathrm {v} }}\ d^{3}\mathrm {v} } } }$ – плотность потока энергии;
• ${\displaystyle \varepsilon _{\chi }}$ – внутренняя энергия частицы;
• ${\displaystyle \mathrm {{\vec {F}}^{(V)}} }$ – внешняя сила, действующая на единицу объема газа;
• ${\displaystyle \mathrm {\delta \over \delta \ t} }$ – изменение в единицу времени в результате столкновений (здесь приведены уравнения для компоненты многокомпонентной среды).

Можно заметить три основных неудобства последней записи по сравнению с двумя предыдущими:

• громоздкость;
• необходимость записи в трех проекциях;
• привязанность конкретно к декартовым координатам.

Последнее, например, означает, что в зависимости от системы координат, в которых решается задача, запись уравнения движения в проекциях будет иметь разные формы.

Такими же недостатками обладает и запись кинетического тензора в развернутой форме:

${\displaystyle \mathrm {\Pi _{mn}=\rho V_{m}V_{n}+\delta _{mn}P-\sigma _{mn}^{I}} }$

и запись последнего слагаемого в приведенном выражении:

${\displaystyle \mathrm {\sigma _{mn}^{I}=\eta {\Biggl (}{\partial \ V_{m} \over \partial \ r_{n}}+{\partial \ V_{n} \over \partial \ r_{m}}-{2 \over 3}\delta _{mn}\nabla \cdot {\vec {V}}{\Biggr )}} }$

где  

• ${\displaystyle \mathrm {P} }$ – давление;
• ${\displaystyle \mathrm {\sigma _{mn}^{I}} }$ – компонента тензора вязких напряжений

Наличие названных недостатков скорее всего можно объяснить тем, что кинетика в физике и тензорный анализ в математике – это сравнительно молодые направления в науке, возникшие уже после того, как натурфилософия, фактически, уже разделилась на отдельные отрасли: физику, химию, математику и т.п. В отличие от Эйлера, Гаусса, Стокса физики уже были только физиками, а математики – только математиками.

В результате тензорный анализ в математике, с одной стороны, оказался достаточно отстраненным от проблем современной физики и, с другой стороны, не сформировал еще общепринятой и достаточно компактной символики.

Развитие математического аппарата любой естественной науки часто ставит исследователя перед выбором:

1. Оставаться в кругу уже определенных категорий, правил и символики, за счет громоздкости, необщности и большого количества выражений.

2. Обобщить понятия, упростить и сократить количество выражений за счет введения новых категорий, правил и символики.

Первый выбор оправдан в случае, когда круг объектов с особенными свойствами узок и редко употребляется в соответствующем направлении науки. В противоположном случае, необходимость дополнительных интеллектуальных усилий в течение определенного времени очень скоро окупается экономией времени и средств представления (бумаги, мела, компьютерной памяти) в дальнейшем массированном обращении с соответствующими объектами.

Примером преимущества второго выбора в математике и физике является появление векторного анализа, возникшего ввиду трехмерности геометрического пространства.

Первый выбор – использование категорий исключительно скалярного анализа – требовал бы в данном случае использования трех определений в описании положения объекта – различных в различных системах координат (декартовой, цилиндрической или сферической), трех определений в описании изменения положения во времени. При этом использование исключительно скалярной символики означало бы разные правила дифференцирования характеристик положения по времени для получения соответствующих характеристик изменения положения. В каждой задаче вместо одного уравнения движения необходимо было бы записывать три, строго оговаривая при этом систему координат, в которой справедлива такая запись. Точно так же пришлось бы поступать в выражениях для связи потенциальной энергии и силы, характеристик электромагнитного поля и движения частиц и т.п.

Второй выбор – введение понятия вектора – означает необходимость усвоения немногих новых определений: вектор, скалярное произведение, векторное произведение и т.п., но легко окупается следующими выгодами:

- вектор сохраняет свою целостность в любой системе координат, в то время как значения проекций меняются;

- правила преобразования положения в скорость, скорости в ускорение как векторов, связь между скоростью и импульсом, характеристиками поля и силой как между векторами сохраняются в различных системах координат.

Наиболее существенную новизну сравнительно со скалярным анализом представляет здесь само понятие вектора – нужно просто привыкнуть к тому, что в геометрии и математике одна величина может характеризоваться не одним, а тремя числами – по числу пространственных измерений в нашей Вселенной. В операциях с кинетическим тензором мы сталкиваемся с названной выше необходимостью выбора – по-прежнему оперировать объектами двух типов (векторами и скалярами), описывая перенос импульса девятью скалярами или тремя векторами (со всеми издержками, названными выше) или ввести понятие и правила операций с новыми объектами, характеризующимися девятью числами. Массовость обращений к переносу импульса в механике сплошной среды скорее располагает ко второму выбору. Кроме того, есть соображения, по которым оптимальным здесь становится не просто определение нового класса объектов, но введение некоего "над-класса", к которому равно относятся и скаляры, и векторы и вновь вводимые объекты. Таким "над-классом" в математике и физике являются тензоры соответствующих рангов.

В нашем случае тензоры являются математическим представлением конкретных физических величин, но не операторами в матричном анализе. Предлагаемая символика и правила относятся именно к такому случаю и не обязательно полностью соответствуют символике матричного анализа.

Тензором определенного ранга ${\displaystyle \mathrm {M} }$ в ${\displaystyle \mathrm {I} }$-мерном пространстве называют величину, которая полностью описывается ${\displaystyle \mathrm {I^{M}} }$ числами – элементами тензора. Предметом механики сплошной среды является обычное трехмерное пространство (${\displaystyle \mathrm {I=3} }$), поэтому в дальнейшем мы и будем говорить только о нем. Таким образом, в нашем случае тензором ранга ${\displaystyle \mathrm {M} }$ является величина, которая полностью описывается ${\displaystyle \mathrm {3^{M}} }$ элементами.

В таком случае:

• скаляр, имеющий один элемент, есть тензор нулевого ранга;
• вектор, имеющий три элемента, есть тензор первого ранга.

Появление нового класса объектов требует новой символики. А именно:

• единственный элемент, из которого состоит скаляр ${\displaystyle \Phi }$, не требует индекса в записи значения;
• каждый из трех элементов ${\displaystyle \mathrm {A_{m}} }$ вектора ${\displaystyle \mathrm {\vec {A}} }$ обозначается индексом ${\displaystyle \mathrm {m} }$, изменяющимся от 1 до 3 – соответственно числу измерений геометрического пространства;
• каждый из ${\displaystyle \mathrm {3^{M}} }$ элементов ${\displaystyle \mathrm {A^{(m_{1}m_{2}m_{3}...m_{M-1}m_{M})}} }$  тензора ${\displaystyle \mathrm {M} }$-го ранга ${\displaystyle \mathbf {A} }$ обозначается ${\displaystyle \mathrm {M} }$ индексами ${\displaystyle \mathrm {m_{1}m_{2}m_{3}...m_{M-1}m_{M}} }$, изменяющимися от 1 до 3 – в дальнейшем для краткости вместо ${\displaystyle \mathrm {m_{1}m_{2}m_{3}...m_{M-1}m_{M}} }$ будем писать ${\displaystyle \mathrm {m_{1}...m_{M}} }$.

В тензорном анализе, так же, как и в векторном, важным является понятие базиса, основанное на определении единичного тензора.

Единичным тензором ${\displaystyle \mathrm {M} }$-го ранга  есть тензор ${\displaystyle \mathrm {e^{(m_{1}...m_{M})}} }$, в котором равны нулю все элементы, кроме равного единице ${\displaystyle \mathrm {m_{1}...m_{M}} }$-го элемента.

В таком случае:

• ${\displaystyle e^{(\ \ )}}$: единичный тензор нулевого ранга есть единица (единичный скаляр);
• ${\displaystyle \mathrm {e^{(m)}=i_{m}} }$: единичный тензор первого ранга есть орта (единичный вектор).

Для облегчения восприятия правила операций с тензорами покажем сравнительно с правилами аналогичных операций с векторами.

 Правило 1. Сложение тензоров и умножение тензора на скаляр

Вектор ${\displaystyle \mathrm {\vec {D}} }$ равен сумме векторов ${\displaystyle \mathrm {\vec {A}} }$ и ${\displaystyle \mathrm {\vec {B}} }$, если элемент вектора ${\displaystyle \mathrm {\vec {D}} }$ равен сумме соответствующих элементов векторов  ${\displaystyle \mathrm {\vec {A}} }$ и ${\displaystyle \mathrm {\vec {B}} }$:

1.1. ${\displaystyle \mathrm {{\vec {D}}={\vec {A}}+{\vec {B}}} }$          ${\displaystyle \longrightarrow }$          ${\displaystyle \mathrm {D_{m}=A_{m}+B_{m}} }$.

Прямым следствием правила сложения векторов является правило умножения вектора на скаляр: вектор ${\displaystyle \mathrm {\vec {D}} }$ равен произведению вектора ${\displaystyle \mathrm {\vec {A}} }$ и скаляра ${\displaystyle \mathrm {C} }$, если элемент вектора ${\displaystyle \mathrm {\vec {D}} }$  равен произведению соответствующего элемента вектора ${\displaystyle \mathrm {\vec {A}} }$ и скаляра ${\displaystyle \mathrm {C} }$:

1.2. ${\displaystyle \mathrm {{\vec {D}}=C\ {\vec {A}}} }$           ${\displaystyle \longrightarrow }$          ${\displaystyle \mathrm {D_{m}=C\ A_{m}} }$.

Тензор ${\displaystyle \mathrm {M} }$-го ранга ${\displaystyle \mathbf {D} }$ равен сумме тензоров такого же ранга ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$, если элемент тензора ${\displaystyle \mathbf {D} }$ равен сумме соответствующих элементов тензоров ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$:

1.3. ${\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {A} +\mathbf {B} }$           ${\displaystyle \longrightarrow }$       ${\displaystyle \mathrm {D^{(m_{1}...m_{M})}=A^{(m_{1}...m_{M})}+B^{(m_{1}...m_{M})}} }$.

Прямым следствием правила сложения тензоров является правило умножения тензора на скаляр: тензор ${\displaystyle \mathbf {D} }$ равен произведению тензора ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и скаляра ${\displaystyle \mathrm {C} }$, если элемент тензора ${\displaystyle \mathbf {D} }$ равен произведению соответствующего элемента тензора ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и скаляра ${\displaystyle \mathrm {C} }$:

1.4. ${\displaystyle \mathrm {\mathbf {D} =C\ \mathbf {A} } }$           ${\displaystyle \longrightarrow }$       ${\displaystyle \mathrm {D^{(m_{1}...m_{M})}=C\ A^{(m_{1}...m_{M})}} }$.

Правило 2. Запись тензоров как суммы элементов

Вектор ${\displaystyle \mathrm {\vec {A}} }$ может быть представлен как векторная сумма элементов с использованием орт:

1.5. ${\displaystyle \mathrm {{\vec {A}}=\sum _{m}i_{m}A_{m}} }$.

При этом нет смысла говорить о результате произведения ${\displaystyle \mathrm {i_{m}A_{m}} }$ – единственный смысл записи ${\displaystyle \mathrm {i_{m}A_{m}} }$ состоит в указании, что величине ${\displaystyle \mathrm {A_{m}} }$ равен именно  ${\displaystyle \mathrm {m} }$-й элемент вектора .

Тензор ${\displaystyle \mathrm {M} }$-го ранга ${\displaystyle \mathbf {A} }$ может быть представлен как тензорная сумма элементов с использованием единичных тензоров:

1.6. ${\displaystyle \mathrm {\mathbf {A} =\sum _{m_{1}...m_{M}}e^{(m_{1}...m_{M})}A^{(m_{1}...m_{M})}} }$.

При этом нет смысла говорить о результате произведения ${\displaystyle \mathrm {e^{(m_{1}...m_{M})}A^{(m_{1}...m_{M})}} }$ – единственный смысл записи ${\displaystyle \mathrm {e^{(m_{1}...m_{M})}A^{(m_{1}...m_{M})}} }$ состоит в указании, что величине ${\displaystyle \mathrm {A^{(m_{1}...m_{M})}} }$  равен именно ${\displaystyle \mathrm {m_{1}...m_{M}} }$-й элемент тензора ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

Правило 3. Инвариантность произведения скаляра и единичного тензора

"Результат" произведения скаляра и орты не зависит от последовательности сомножителей:

1.7. ${\displaystyle \mathrm {i_{m}A_{m}=A_{m}i_{m}} }$.

"Результат" произведения скаляра и единичного тензора не зависит от последовательности сомножителей:

1.8.  ${\displaystyle \mathrm {e^{(m_{1}...m_{M})}A^{(m_{1}...m_{M})}=A^{(m_{1}...m_{M})}e^{(m_{1}...m_{M})}} }$.

Правило 4. Тензорное произведение и представление единичных тензоров через орты

Внимание !!! Правило 4 является, фактически, единственным новым правилом тензорного анализа, не представленным в векторном анализе.

Тензорным произведением тензора ${\displaystyle \mathrm {M} }$-го ранга ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и тензора ${\displaystyle \mathrm {N} }$-го ранга ${\displaystyle \mathbf {B} }$ является тензор ${\displaystyle \mathrm {M+N} }$-го ранга ${\displaystyle \mathbf {D} }$, если ${\displaystyle \mathrm {m_{1}...m_{M}n_{1}...n_{N}} }$-й элемент тензора ${\displaystyle \mathbf {D} }$ равен произведению ${\displaystyle \mathrm {m_{1}...m_{M}} }$-го элемента тензора ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathrm {n_{1}...n_{N}} }$-го элемента тензора ${\displaystyle \mathbf {B} }$:

1.9. ${\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {A} \ \mathbf {B} }$           ${\displaystyle \longrightarrow }$       ${\displaystyle \mathrm {D^{(m_{1}...m_{M}n_{1}...n_{N})}=A^{(m_{1}...m_{M})}B^{(n_{1}...n_{N})}} }$.

Таким образом, тензорное скаляра и тензора произвольного ранга есть, фактически, "простое" произведение скаляра на тензор (1.4).

С учетом (9) единичный тензор ${\displaystyle \mathrm {M} }$-го ранга может быть представлен как кратное тензорное произведение орт:

1.10. ${\displaystyle \mathrm {e^{(m_{1}...m_{M})}=i_{m_{1}}...i_{m_{M}}} }$.

Выражения (1.6) и (1.8) с использованием (1.10) можно записать так:

1.11, ${\displaystyle \mathrm {\mathbf {A} =\sum _{m_{1}...m_{M}}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}} }$,

1.12. ${\displaystyle \mathrm {i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}=i_{m_{1}}...i_{m_{i}}A^{(m_{1}...m_{M})}i_{m_{i+1}}...i_{m_{M}}} }$.

В дальнейшем вместо (1.6) можно использовать запись (1.11) как более удобную в случаях, которые будут названы ниже.

Правило 5. Произведение тензоров

Существуют три вида произведений тензоров: тензорное, векторное и скалярное. Каждому из произведений соответствует знак: пробел в тензорном, крестик в векторном и точка в скалярном. Кроме того, удобно использование обобщенного знака произведения "${\displaystyle \circ }$", соответствующего трем различным случаям:

1.13.   ${\displaystyle \circ ={\bigl (}}$ "    ", " × ", " · "${\displaystyle {\bigr )}}$.

Правило 5 является прямым следствием (1.11) и (1.12) – скаляры в произведениях можно произвольно перемещать относительно знаков произведений – знак произведения тензоров фактически относится к ближайшим ортам:

1.14. ${\displaystyle \mathrm {{\vec {A}}\circ {\vec {B}}=\sum _{mn}{\bigl (}i_{m}A_{m}{\bigr )}\circ {\bigl (}i_{n}B_{n}{\bigr )}=\sum _{mn}{\bigl (}i_{m}\circ i_{n}{\bigr )}A_{m}B_{n}=\sum _{mn}A_{m}B_{n}{\bigl (}i_{m}\circ i_{n}{\bigr )}} }$,

1.15. ${\displaystyle \mathrm {\mathbf {A} \circ \mathbf {B} =\sum _{\begin{matrix}m_{1}...m_{M}\\n_{1}...n_{N}\end{matrix}}{\bigl (}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}{\bigr )}\circ {\bigl (}i_{n_{1}}...i_{n_{N}}B^{(n_{1}...n_{N})}{\bigr )}=} }$

${\displaystyle \mathrm {=\sum _{\begin{matrix}m_{1}...m_{M}\\n_{1}...n_{N}\end{matrix}}i_{m_{1}}...i_{m_{M-1}}A^{(m_{1}...m_{M})}{\bigl (}i_{m_{M}}\circ i_{n_{1}}{\bigr )}i_{n_{2}}...i_{n_{N}}B^{(n_{1}...n_{N})}=} }$

${\displaystyle \mathrm {=\sum _{\begin{matrix}m_{1}...m_{M}\\n_{1}...n_{N}\end{matrix}}A^{(m_{1}...m_{M})}B^{(n_{1}...n_{N})}i_{m_{1}}...i_{m_{M-1}}{\bigl (}i_{m_{M}}\circ i_{n_{1}}{\bigr )}i_{n_{2}}...i_{n_{N}}} }$.

Правило 6. Произведение орт

Тензорное, векторное и скалярное произведение орт имеют следующие значения:

1.16. ${\displaystyle \mathrm {i_{m}i_{n}=e^{(mn)}} }$,

1.17. ${\displaystyle \mathrm {i_{m}\times i_{m}=0} }$,

${\displaystyle \mathrm {i_{1}\times i_{2}=-i_{2}\times i_{1}=i_{3}} }$,

${\displaystyle \mathrm {-i_{1}\times i_{3}=i_{3}\times i_{1}=i_{2}} }$,

${\displaystyle \mathrm {i_{2}\times i_{3}=-i_{3}\times i_{2}=i_{1}} }$,

1.18. ${\displaystyle \mathrm {i_{m}\cdot i_{n}=\delta _{mn}} }$,

где   ${\displaystyle \mathrm {\delta _{mn}} }$ – символ Кронекера:

1.19. ${\displaystyle \mathrm {\delta _{mn}=\left\{{\begin{matrix}1,&\mathrm {m=n} \\0,&\mathrm {m\neq n} \end{matrix}}\right.} }$.

Правило 7. Извлечение элемента из вектора и тензора

Произвольный вектор ${\displaystyle \mathrm {\vec {A}} }$  в различных выражениях может встречаться не в прямой записи (1.5), а как результат операций с другими векторами или скалярами. При необходимости "извлечения" конкретной проекции вектора ${\displaystyle \mathrm {\vec {A}} }$ из такой записи можно на основании (1.5) и (1.18) использовать операцию:

1.20. ${\displaystyle \mathrm {A_{m}=i_{m}\cdot {\vec {A}}={\vec {A}}\cdot i_{m}} }$

Аналогично, на основании (11) и (18) можно записать для элемента тензора ранга выше нулевого:

1.21. ${\displaystyle \mathrm {A^{(m_{1}...m_{M})}=i_{m_{M}}\cdot {\Bigl (}...\cdot {\Bigl (}i_{m_{1}}\cdot \mathbf {A} {\Bigr )}{\Bigr )}={\Bigl (}{\Bigl (}\mathbf {A} \cdot i_{m_{M}}{\Bigr )}\cdot ...{\Bigr )}\cdot i_{m_{1}}} }$.

Правило 8. Операторы Гамильтона и Лапласа

Любой из трех знаков (1.13) может использоваться не только в произведениях, но и в обозначениях действия оператора Гамильтона ${\displaystyle \nabla }$, имеющего, как известно, запись:

1.22. ${\displaystyle \mathrm {\nabla =\sum _{n}i_{n}{\partial \over \partial \ r_{n}}} }$.

Результатом тензорного действия оператора ${\displaystyle \nabla }$ является градиент, векторного – ротор, скалярного – дивергенция. К сожалению,  в большинстве источников отсутствуют общие правила развернутой записи результатов действия оператора ${\displaystyle \nabla }$ в произвольной (не декартовой) системе координат. Приводятся общие записи в декартовой системе – единственной системе координат с неизменными ортами, а также частные случаи записи для наиболее часто используемых ортогональных криволинейный координат – сферических, цилиндрических.

Правильные результаты в использовании оператора можно, однако, получить, распространив Правило 5 на скалярные дифференциальные операторы – скалярные дифференциальные операторы в произведениях можно произвольно перемещать относительно знаков произведений:

1.23. ${\displaystyle \mathrm {\nabla \circ ={\biggl (}\sum _{n}i_{n}{\partial \over \partial \ r_{n}}{\biggr )}\circ =\sum _{n}i_{n}\circ {\partial \over \partial \ r_{n}}} }$.

Таким образом, имеем:

• градиент скаляра:

1.24. ${\displaystyle \mathrm {\nabla \Phi =\sum _{n}i_{n}{\partial \ \Phi \over \partial \ r_{n}}} }$;

• ротор вектора:

1.25. ${\displaystyle \mathrm {\nabla \times {\vec {A}}=\sum _{n}i_{n}\times {\partial \ {\vec {A}} \over \partial \ r_{n}}=\sum _{nm}i_{n}\times {\partial \over \partial \ r_{n}}{\bigl (}i_{m}A_{m}{\bigr )}=\sum _{nm}{\biggl (}i_{n}\times i_{m}{\partial \ A_{m} \over \partial \ r_{n}}+i_{n}\times {\partial \ i_{m} \over \partial \ r_{n}}A_{m}{\biggr )}} }$;

• дивергенция вектора:

1.26. ${\displaystyle \mathrm {\nabla \cdot {\vec {A}}=\sum _{n}i_{n}\cdot {\partial \ {\vec {A}} \over \partial \ r_{n}}=\sum _{nm}i_{n}\cdot {\partial \over \partial \ r_{n}}{\bigl (}i_{m}A_{m}{\bigr )}=\sum _{nm}{\biggl (}i_{n}\cdot i_{m}{\partial \ A_{m} \over \partial \ r_{n}}+i_{n}\cdot {\partial \ i_{m} \over \partial \ r_{n}}A_{m}{\biggr )}} }$.

Аналогично (1.24) – (1.26) правило (1.23) в применении к тензору дает:

• градиент тензора произвольного ранга:

1.27. ${\displaystyle \mathrm {\nabla \mathbf {A} =\sum _{n}i_{n}{\partial \ \mathbf {A} \over \partial \ r_{n}}=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}i_{n}{\partial \over \partial \ r_{n}}{\biggl (}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}=} }$

${\displaystyle \mathrm {=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}{\biggl (}i_{n}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}{\partial \ A^{(m_{1}...m_{M})} \over \partial \ r_{n}}+i_{n}{\partial \over \partial \ r_{n}}(i_{m_{1}}...i_{m_{M}})A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}} }$;

• ротор тензора ранга выше нулевого:

1.28. ${\displaystyle \mathrm {\nabla \times \mathbf {A} =\sum _{n}i_{n}\times {\partial \ \mathbf {A} \over \partial \ r_{n}}=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}i_{n}\times {\partial \over \partial \ r_{n}}{\biggl (}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}=} }$

${\displaystyle \mathrm {=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}{\biggl (}i_{n}\times i_{m_{1}}...i_{m_{M}}{\partial \ A^{(m_{1}...m_{M})} \over \partial \ r_{n}}+i_{n}\times {\partial \over \partial \ r_{n}}(i_{m_{1}}...i_{m_{M}})A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}} }$;

• дивергенция тензора ранга выше нулевого:

1.29. ${\displaystyle \mathrm {\nabla \cdot \mathbf {A} =\sum _{n}i_{n}\cdot {\partial \ \mathbf {A} \over \partial \ r_{n}}=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}i_{n}\cdot {\partial \over \partial \ r_{n}}{\biggl (}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}=} }$

${\displaystyle \mathrm {=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}{\biggl (}i_{n}\cdot i_{m_{1}}...i_{m_{M}}{\partial \ A^{(m_{1}...m_{M})} \over \partial \ r_{n}}+i_{n}\cdot {\partial \over \partial \ r_{n}}(i_{m_{1}}...i_{m_{M}})A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}} }$.

Обобщенно выражения (1.27) – (1.29) можно записать так:

1.30. ${\displaystyle \mathrm {\nabla \circ \mathbf {A} =\sum _{n}i_{n}\circ {\partial \ \mathbf {A} \over \partial \ r_{n}}=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}i_{n}\circ {\biggl (}{\partial \over \partial \ r_{n}}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}=} }$

${\displaystyle \mathrm {=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}{\biggl (}i_{n}\circ i_{m_{1}}...i_{m_{M}}{\partial \ A^{(m_{1}...m_{M})} \over \partial \ r_{n}}+i_{n}\circ {\partial \over \partial \ r_{n}}(i_{m_{1}}...i_{m_{M}})A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}} }$.

Правила дифференцирования производных орт в (1.27) – (1.30) аналогичны правилам дифференцирования произведений скаляров:

1.31. ${\displaystyle \mathrm {{\partial \over \partial \ r_{n}}{\biggl (}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}{\biggr )}={\partial \ i_{m_{1}} \over \partial \ r_{n}}{\biggl (}i_{m_{2}}...i_{m_{M}}{\biggr )}+i_{m_{1}}{\partial \ i_{m_{2}} \over \partial \ r_{n}}{\biggl (}i_{m_{3}}...i_{m_{M}}{\biggr )}+i_{m_{1}}i_{m_{2}}{\partial \ i_{m_{3}} \over \partial \ r_{n}}{\biggl (}i_{m_{4}}...i_{m_{M}}{\biggr )}+...} }$

При этом конкретная система координат представлена просто набором значений производных орт по проекциям координаты ${\displaystyle \mathrm {\partial \ i_{m} \over \partial \ r_{n}} }$.

В тензорном анализе, как и в векторном, используется также оператор Лапласа ${\displaystyle \Delta }$:

1.32. ${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla }$.

Результат действия оператора ${\displaystyle \Delta }$ на произвольный тензор в произвольной ортогональной системе координат можно получить с использованием тех же, что и выше, правил:

1.33. ${\displaystyle \mathrm {\Delta \mathbf {A} =\sum _{mn}i_{m}\cdot {\partial \over \partial \ r_{m}}{\biggl (}i_{n}{\partial \ \mathbf {A} \over \partial \ r_{n}}{\biggr )}=\sum _{m}{\biggl (}{\partial ^{2}\mathbf {A} \over \partial \ r_{m}^{2}}+{\biggl (}\sum _{n}i_{m}\cdot {\partial \ i_{n} \over \partial \ r_{m}}{\Biggr )}{\partial \ \mathbf {A} \over \partial \ r_{n}}{\Biggr )}} }$.

• Представление тензора как матрицы

Тензор ${\displaystyle \mathbf {A} }$ второго ранга может быть представлен как матрица:

1.34. ${\displaystyle \mathrm {\mathbf {A} ={\begin{array}{|ccc|}A^{(11)}&A^{(12)}&A^{(13)}\\A^{(21)}&A^{(22)}&A^{(23)}\\A^{(31)}&A^{(32)}&A^{(33)}\\\end{array}}} }$.

• След тензора второго ранга

Следом ${\displaystyle \mathrm {Tr\mathbf {A} } }$ тензора второго ранга ${\displaystyle \mathbf {A} }$ называют сумму его диагональных элементов:

1.35. ${\displaystyle \mathrm {Tr\mathbf {A} =\sum _{n}A^{(nn)}=A^{(11)}+A^{(22)}+A^{(33)}} }$.

• Сопряженный тензор

Тензор ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$  называют сопряженным тензору ${\displaystyle \mathbf {A} }$, если элементы тензора ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$ получаются перестановкой индексов элементов тензора ${\displaystyle \mathbf {A} }$:

1.36. ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {A} ^{*}}$           ${\displaystyle \longrightarrow }$       ${\displaystyle \mathrm {B^{(mn)}=A^{(nm)}} }$.

Можно заметить, что:

1.37. ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{*})^{*}\equiv \mathbf {A} }$.

• Симметричный тензор

Тензор ${\displaystyle \mathbf {A} }$ называют симметричным, если его элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны друг другу:

1.38. ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{*}}$           ${\displaystyle \longrightarrow }$       ${\displaystyle \mathrm {A^{(mn)}=A^{(nm)}} }$.

• Унитарный тензор

Унитарный тензор ${\displaystyle \mathbf {\boldsymbol {\delta }} }$ есть тензор второго ранга, недиагональные элементы которого равны нулю, а диагональные – единице:

1.39. ${\displaystyle \mathrm {\delta ^{(mn)}=\delta _{mn}} }$            ${\displaystyle \longrightarrow }$       ${\displaystyle \mathrm {\mathbf {\boldsymbol {\delta }} ={\begin{array}{|ccc|}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}}=\sum _{mn}i_{m}i_{n}\delta _{mn}=\sum _{n}i_{n}i_{n}} }$.

Можно показать следующие свойства унитарного тензора:

1.40. ${\displaystyle \mathbf {\boldsymbol {\delta }} \cdot \mathbf {A} =\mathbf {A} }$,

1.41. ${\displaystyle \nabla \cdot {\bigl (}\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \ \mathbf {A} {\bigr )}=\nabla \mathbf {A} }$,

1.42. ${\displaystyle \nabla \cdot {\bigl (}\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \cdot \mathbf {A} {\bigr )}=\nabla \mathbf {\cdot } {A}}$,

1.43. ${\displaystyle \nabla \cdot {\bigl (}{\vec {A}}\ \mathbf {\boldsymbol {\delta }} {\bigr )}=\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \ \nabla \cdot {\vec {A}}}$,

1.44. ${\displaystyle \nabla \cdot {\bigl (}{\scriptstyle \mathbf {\boldsymbol {\delta }} }{\vec {A}}{\scriptstyle \mathbf {\boldsymbol {\delta }} }{\bigr )}={\bigl (}\nabla {\vec {A}}{\bigr )}^{*}}$,

где тензор, сопряженный градиенту вектора ${\displaystyle \mathrm {\vec {A}} }$:

1.45. ${\displaystyle \mathrm {{\bigl (}\nabla {\vec {A}}{\bigr )}^{*}=\sum _{n}{\partial \ {\vec {A}} \over \partial \ r_{n}}i_{n}} }$

и внутреннее произведение  унитарного тензора и вектора ${\displaystyle {\vec {A}}}$:

1.46. ${\displaystyle \mathrm {{\scriptstyle \mathbf {\boldsymbol {\delta }} }{\vec {A}}{\scriptstyle \mathbf {\boldsymbol {\delta }} }=\sum _{n}i_{n}{\vec {A}}\ i_{n}} }$.

Тензор ${\displaystyle \mathbf {A} }$ произвольного ранга является симметричным, если перестановка любой пары индексов не изменяет значение компоненты тензора, например:

- для симметричных тензоров 2-го ранга:

1.47. ${\displaystyle \mathrm {A^{(mn)}=A^{(nm)}} }$;

- для симметричных тензоров 3-го ранга:

1.48. ${\displaystyle \mathrm {A^{(kmn)}=A^{(knm)}=A^{(mkn)}=A^{(mnk)}=A^{(nkm)}=A^{(nmk)}} }$;

- для симметричных тензоров 4-го ранга:

1.49. ${\displaystyle \mathrm {A^{(ikmn)}=A^{(iknm)}=A^{(imkn)}=A^{(imnk)}=A^{(inkm)}=A^{(inmk)}=} }$

${\displaystyle \mathrm {A^{(ikmn)}=A^{(kinm)}=A^{(mikn)}=A^{(mink)}=A^{(nikm)}=A^{(nimk)}=} }$

${\displaystyle \mathrm {A^{(ikmn)}=A^{(knim)}=A^{(mkin)}=A^{(mnik)}=A^{(nkim)}=A^{(nmik)}=} }$

${\displaystyle \mathrm {A^{(kmni)}=A^{(knmi)}=A^{(mkni)}=A^{(mnki)}=A^{(nkmi)}=A^{(nmki)}} }$

и так далее.

Можно заметить, что число независимых комбинаций индексов для тензора ${\displaystyle \mathrm {n} }$-го ранга равно ${\displaystyle \mathrm {n!} }$.

Любой тензор ${\displaystyle \mathrm {\mathbf {A} ^{[n]}} }$  произвольного ранга ${\displaystyle n}$ может быть преобразован в симметричный тензор  с помощью операции симметрии:

1.50.${\displaystyle \mathrm {{\bigl \lfloor }\mathbf {A} ^{[n]}{\bigr \rfloor }={1 \over n!}\sum \mathbf {A} ^{[n]*}} }$,

где ${\displaystyle \mathrm {\sum \mathbf {A} ^{[n]*}} }$  – сумма исходного тензора ${\displaystyle \mathrm {\mathbf {A} ^{[n]}} }$  и всех тензоров, получаемых путем перестановки индексов его компонент аналогично (1.47) – (1.49).

Можно заметить, что если исходный тензор ${\displaystyle \mathrm {\mathbf {A} ^{[n]}} }$  уже является симметричным, имеет место ${\displaystyle \mathrm {{\bigl \lfloor }\mathbf {A} ^{[n]}{\bigr \rfloor }=\mathbf {A} ^{[n]}} }$.

Тензор ${\displaystyle \mathrm {\mathbf {A} ^{[n]}} }$ произвольного ранга ${\displaystyle \mathrm {n} }$ может быть результатом кратного тензорного произведения одного и того же вектора ${\displaystyle \mathrm {\vec {a}} }$:

1.51. ${\displaystyle \mathrm {\mathbf {A} ^{[n]}=\underbrace {{\vec {a}}\ {\vec {a}}...{\vec {a}}} _{n}} }$.

Для краткости можно использовать символ тензорной степени вектора (итерации вектора):

1.52. ${\displaystyle \mathrm {\underbrace {{\vec {a}}\ {\vec {a}}...{\vec {a}}} _{n}={\vec {a}}^{\lceil n\rceil }} }$.

Показатель тензорной степени нужно записывать в скобках ${\displaystyle \mathrm {\lceil n\rceil } }$, чтобы не путать тензорный квадрат вектора:

1.53. ${\displaystyle \mathrm {{\vec {a}}^{\lceil 2\rceil }={\vec {a}}\ {\vec {a}}} }$

с принятым в векторном анализе обозначением квадрата вектора (квадрата модуля):

1.54. ${\displaystyle \mathrm {{\vec {a}}^{2}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {a}}|^{2}=a^{2}} }$.

Можно убедиться, что:

1.55. ${\displaystyle \mathrm {{\bigl \lfloor }{\vec {a}}^{\lceil n\rceil }{\bigr \rfloor }\equiv {\vec {a}}^{\lceil n\rceil }} }$.

В алгебре скаляров существует запись для степени суммы скаляров (бином Ньютона):

1.56. ${\displaystyle \mathrm {{\bigl (}a+b{\bigr )}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n! \over k!(n-k)!}a^{n-k}b^{k}} }$.

С использованием принятых здесь обозначений можно показать для тензорной степени суммы векторов:

1.57. ${\displaystyle \mathrm {{\bigl (}{\vec {a}}+{\vec {b}}{\bigr )}^{\lceil n\rceil }=\sum _{k=0}^{n}{n! \over k!(n-k)!}{\bigl \lfloor }{\vec {a}}^{\lceil n-k\rceil }{\vec {b}}^{\lceil k\rceil }{\bigr \rfloor }} }$.

Для дифференциала степени скаляра известно, что:

1.58. ${\displaystyle \mathrm {d\ a^{n}=d(\underbrace {a\ a...a} _{n})=(\underbrace {d\ a(\underbrace {a\ a...a} _{n-1})+a\ d\ a(\underbrace {a\ a...a} _{n-2})+...} _{n})=n\ a^{\lceil n-1\rceil }d\ a} }$.

Можно показать, что для дифференциала тензорной степени вектора:

1.59. ${\displaystyle \mathrm {d\ {\vec {a}}^{\lceil n\rceil }=d(\underbrace {{\vec {a}}\ {\vec {a}}...{\vec {a}}} _{n})=(\underbrace {d\ {\vec {a}}(\underbrace {{\vec {a}}\ {\vec {a}}...{\vec {a}}} _{n-1})+{\vec {a}}\ d\ {\vec {a}}(\underbrace {{\vec {a}}\ {\vec {a}}...{\vec {a}}} _{n-2})+...} _{n})=n\lfloor {\vec {a}}^{\lceil n-1\rceil }d\ {\vec {a}}\rfloor } }$.

В операциях с тензорами часто встречается необходимость кратного скалярного произведения тензоров, для которого можно использовать следующую символику:

1.60. ${\displaystyle \mathrm {i_{m_{1}}...i_{m_{m}}{\overset {(k)}{\bullet }}i_{n_{1}}...i_{n_{n}}=i_{m_{1}}...i_{m_{m-k}}{\bigl (}i_{m_{m-k+1}}\cdot i_{n_{k}}{\bigr )}...{\bigl (}i_{m_{m}}\cdot i_{n_{1}}{\bigr )}i_{n_{k+1}}...i_{n_{n}}} }$,

то есть:

1.61. ${\displaystyle \mathrm {\mathbf {C} ^{[m+n-2k]}=\mathbf {A} ^{[m]}{\overset {(k)}{\bullet }}\mathbf {B} ^{[n]}\sum _{\begin{matrix}m_{1}...m_{m}\\\mathrm {n_{1}...n_{n}} \end{matrix}}A^{(m_{1}...m_{m})}B^{(n_{1}...n_{n})}i_{m_{1}}...i_{m_{m}}{\overset {(k)}{\bullet }}i_{n_{1}}...i_{n_{n}}} }$

и

1.62. ${\displaystyle \mathrm {C^{(m_{1}...m_{m+n-2k})}=\sum _{k_{1}...k_{k}}A^{(m_{1}...m_{m-k}k_{1}...k_{k})}B^{(k_{1}...k_{k}m_{m-k+1}...m_{m+n-2k})}} }$.