Теорема Абеля — Таубера

Теорема Абеля — Таубера — теорема, обратная теореме Абеля о степенных рядах. Первая теорема типа тауберовых теорем. Была доказана A. Таубером в 1897 г. (теорема Таубера)^[1] Формулировку и доказательство при более общих условиях затем дал Дж. Литтльвуд в 1910 г.^[2] Затем была доказана Р. Шмидтом^[3], Н. Винером^[4]. Наиболее простое доказательство дал Дж. Карамата^[5]. Формулировку и доказательство при более слабом условии $n|a_{n}|<K$ дал Э. Ландау^[6].

Формулировка

Пусть $\sum _{0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ сходится к $f(x)$ при $|x|<1$ . Пусть $\lim _{x\rightarrow {1-0}}f(x)=s$ , когда $x$ стремится слева к $1$ . Пусть $n|a_{n}|<K<\infty$ . Тогда $\sum _{0}^{\infty }a_{n}=s$ .

Примечания

↑ А. Таубер Ein Satz aus der Theorie der undendlichen Reihen // Monatshefte f. Math. 8 (1897), 273—277
↑ Литтлвуд On the converse of Abel’s theorem on power series // Proc. Lond. Math. Soc. (2), 9 (1910), 434—444
↑ R. Schmidt Uber divergente Folgen und lineare Mittelbindungen // Math. Zeitchr., 22 (1925), 89-152
↑ N. Wiener Tauberian Theorems // Annals of Mathematics, 33 (1932), 1-100
↑ J. Karamata Uber die Hardy — Littlewoodschen Umkehrungen des Abelshen Stetigkeitssatzes // Math. Zeitschr.., 32 (1930), 319—320
↑ E. Landau Uber einen Satz des Herrn Littlewood // Rendiconti di Palermo, 35 (1913), 265—276

Литература

Винер, Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. — М. : Физматлит, 1963. — С. 255.

Похожие исследовательские статьи

Математи́ческое ожида́ние — понятие в теории вероятностей, означающее среднее значение случайной величины. В случае непрерывной случайной величины подразумевается взвешивание по плотности распределения. Математическое ожидание случайного вектора равно вектору, компоненты которого равны математическим ожиданиям компонентов случайного вектора.

Знакочередующийся ряд — математический ряд, члены которого попеременно принимают значения противоположных знаков, то есть:

\text{[math]}

Сходящийся ряд $\text{[math]}$ называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей $\text{[math]}$ , иначе — сходящимся условно.

Теорема о монотонной сходимости — это теорема из теории интегрирования Лебега, имеющая фундаментальное значение для функционального анализа и теории вероятностей, где служит инструментом для доказательства многих положений. Даёт одно из условий при которых можно переходить к пределу под знаком интеграла Лебега, теорема позволяет доказать существование суммируемого предела у некоторых ограниченных функциональных последовательностей.

Ле́мма Фату́ — техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей. Оно даёт одно из условий, при которых предел почти всюду сходящейся функциональной последовательности будет суммируемым.

Вы́чет в комплексном анализе — объект, характеризующий локальные свойства заданной функции или формы.

Центра́льные преде́льные теоре́мы (ЦПТ) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы, имеет распределение, близкое к нормальному.

Под теоремой Парсеваля обычно понимают унитарность преобразования Фурье. То есть сумма квадрата функции равна сумме квадрата результата преобразования. Следует заметить, что общий вид теоремы Парсеваля часто называют Теоремой Планшереля или Обобщенной формулой Рэлея. Теорема была доказана для рядов Марком-Антуаном Парсевалем в 1799 году и была позднее применена к рядам Фурье.

Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна.

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

\text{[math]}

Сходимость по Чезаро — обобщение понятия сходимости числовых и функциональных рядов, введённое итальянским математиком Эрнесто Чезаро. Фактически существует целое семейство определений, зависящих от параметра k. Сначала сходимость была определена Чезаро для целых положительных значений параметра k и применена ко множеству рядов. Позднее понятие сходимости по Чезаро было расширено на произвольные значения k, в том числе и на комплексные. Методы нахождения суммы по Чезаро имеют многочисленные приложения: при умножении рядов, в теории рядов Фурье и других вопросах.

Сходимость по Борелю — обобщение понятия сходимости ряда, предложенное французским математиком Эмилем Борелем. Существует два неэквивалентных определения, которые связывают с именем Бореля.

Линейный функционал $\text{[math]}$ называется банаховым пределом если выполняются следующие 3 условия:
1) $\text{[math]}$

Теорема Абеля — результат теории степенных рядов, названный в честь норвежского математика Нильса Абеля. Обратной к ней является теорема Абеля — Таубера.

Теорема Харди—Литтлвуда — теорема о свойствах степенных рядов вблизи границы круга сходимости. Доказана Харди и Литтлвудом в 1914 году.

Теорема Таубера — теорема о свойствах степенных рядов вблизи границы круга сходимости. Является простейшей обратной теоремой к теореме Абеля о сходимости степенных рядов. Доказана А. Таубером в 1897 году. Впоследствии была сформулирована и доказана при более общих условиях другими авторами.

Постоя́нная Хи́нчина — вещественная константа $\text{[math]}$ , равная среднему геометрическому элементов разложения в цепную дробь любого из почти всех вещественных чисел.

Теорема Вейля о равномерном распределении формулирует критерий равномерной распределённости бесконечной последовательности вещественных чисел из отрезка $\text{[math]}$ .

Теоремы Мертенса — это три результата 1874 года, связанные с плотностью простых чисел, доказанные Францем Мертенсом. Название «теорема Мертенса» может относиться также к его теореме в анализе.

Теорема Мюнтца — Саса — утверждение о достаточном условии равномерной аппроксимации произвольной непрерывной функции степенными полиномами и достаточном условии её невозможности. Была доказана Мюнтцем в 1914 г. и Сасом в 1916 г. Играет важную роль в функциональном анализе.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.