Теорема Брунна — Минковского — классическая теорема выпуклой геометрии:
Выпуклое множество в аффинном или векторном пространстве — множество, в котором все точки отрезка, образуемого любыми двумя точками данного множества, также принадлежат данному множеству.
Теорема Коши о многогранниках утверждает, что грани многогранника вместе с правилом склейки полностью определяют выпуклый многогранник.
Многогранник или полиэдр — обычно замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, но иногда так же называют тело, ограниченное этой поверхностью, а также обобщения на другие размерности.
Теорема Бликера — факт, доказанный Дэвидом Бликером в 1996 году: из развёртки выпуклого многогранника с треугольными гранями всегда можно сложить невыпуклый многогранник с бо́льшим объёмом. Например, из развёртки тетраэдра можно сделать невыпуклый многогранник, который превосходит по объёму исходный тетраэдр более чем на 37,7 %. При этом по теореме Александрова выпуклый многогранник бо́льшего объёма таким образом сделать нельзя.
Параллелоэдр ― выпуклый многогранник, параллельным перенесением которого можно замостить пространство, то есть покрыть евклидово пространство так, чтобы многогранники не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой.
Развёртка многогранника — совокупность многоугольников, соответственно равных граням многогранника, с указанием того, какие стороны и вершины многоугольников соответствуют одним и тем же рёбрам и вершинам многогранника. Модели многогранников часто склеиваются из развёрток или отдельных многоугольников с указанием сторон, которые должны быть склеены.
Изгибаемый многогранник — многогранник, чью пространственную форму можно изменить непрерывной во времени деформацией, при которой каждая грань не изменяет своих размеров, а деформация осуществляется только за счёт непрерывного изменения двугранных углов. Такая деформация называется непрерывным изгибанием многогранника.
Теорема Минковского о многогранниках — общее название двух теорем о существовании и единственности замкнутого выпуклого многогранника с заданными направлениями и площадями граней.
Теорема Александрова о развёртке — теорема о существовании и единственности замкнутого выпуклого многогранника с данной развёрткой, доказанная Александром Даниловичем Александровым. Единственность в этой теореме является обобщением теоремы Коши о многогранниках и имеет схожее доказательство.
Теорема Линделёфа о многограннике наименьшей площади при заданном объёме — теорема, доказанная Лоренсом Линделёфом в 1869 году.
Теорема Линделёфа — ряд результатов, установленных финским математиком Лоренцем Линделёфом или его сыном топологом Эрнстом Линделёфом:
- Теорема Линделёфа — утверждение комплексного анализа о существовании и свойствах непрерывного продолжения конформной функции.
- Теорема Линделёфа о многограннике — геометрический результат, согласно которому среди всех выпуклых многогранников трёхмерного евклидова пространства с данными направлениями граней и с данным объёмом наименьшую площадь поверхности имеет многогранник, описанный вокруг шара.
- Первая теорема Линделёфа — общетопологическое утверждение о том, что множество всех точек конденсации пространства со второй аксиомой счётности не более, чем счётно.
- Вторая теорема Линделёфа — общетопологический результат о том, что во всяком открытом покрытии пространства со второй аксиомой счётности можно выделить не более, чем счётное подпокрытие.
Теорема Эйлера для многогранников — теорема, устанавливающая связь между числом вершин, рёбер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере.
Многогранник Джонсона или тело Джонсона — это выпуклый многогранник, каждая грань которого является правильным многоугольником и при этом он не является ни платоновым телом, ни архимедовым, ни призмой, ни антипризмой. Всего существует 92 тела Джонсона.
Теорема Штайница — это комбинаторное описание неориентированных графов, образованных рёбрами и вершинами трёхмерного выпуклого многогранника — они в точности являются (простыми) вершинно 3-связными планарными графами. То есть любой выпуклый многогранник образует 3-связный планарный граф, и любой 3-связный планарный граф может быть представлен как выпуклый многогранник. По этой причине 3-связные планарные графы называют также полиэдральными.
Теорема об инвариантности области утверждает, что образ непрерывного инъективного отображения Евклидова пространства в себя открыт.
Теорема монотонности Александрова — теорема о выпуклых многогранниках, доказанная А. Д. Александровым в 1937 году,,.
Юрий Александрович Волков — советский математик, специалист в области геометрии, доктор физико-математических наук, профессор.
Теорема Балинского — это утверждение относительно структуры графа многогранника размерности 3 и выше. Теорема утверждает, что если образовать неориентированный граф из вершин и рёбер выпуклого d-мерного многогранника, то полученный граф по меньшей мере вершинно d-связен — удаление любого набора из d − 1 вершин оставляет связный подграф. Например, для трёхмерного многогранника, если удалить две вершины, для любой пары вершин существует путь, соединяющий эту пару.
«Выпуклые многогранники» — монография Александра Даниловича Александрова. Оригинальное русское издание вышло в 1950 году; немецкий перевод в 1958 году. Расширенное издание на английском языке с дополнительными материалами Виктора Абрамовича Залгаллера, Л. А. Шора и Юрия Александровича Волкова вышло в 2005 году.
