Теорема Банаха об обратном операторе

Теорема Банаха об обратном операторе — один из трёх основных принципов «банаховой» теории линейных операторов (два других — теорема Хана — Банаха и принцип равномерной ограниченности).^[1]

Формулировка

Если ограниченный линейный оператор $A$ отображает всё банахово пространство $E$ на всё банахово пространство $E_{1}$ взаимно однозначно, то существует линейный ограниченный оператор $A^{-1}$ , обратный оператору $A$ , отображающий $E_{1}$ на $E$ .^[2]

Следствия

Теорема об открытом отображении

Линейное непрерывное отображение $A$ банахова пространства $E$ на всё банахово пространство $E_{1}$ открыто.^[3]

Лемма о тройке

Пусть $E,E_{1},E_{2}$ — банаховы пространства и $A\colon E\to E_{1}$ , $B\colon E\to E_{2}$ — линейные непрерывные операторы, причем $B$ отображает $E$ на всё $E_{2}$ (то есть ${\mbox{Im}}\,B=E_{2}$ ). Если при этом

{\mbox{Ker}}\,A\supset {\mbox{Ker}}\,B,

то существует такой линейный непрерывный оператор $C\colon E_{2}\to E_{1}$ , что $A=CB$ .

Здесь ${\mbox{Ker}}\,A$ — ядро, ${\mbox{Im}}\,A$ — образ оператора $A$ . Символически утверждение леммы о тройке удобно изобразить такой схемой:^[4]

{\begin{array}{ccccc}{\mbox{Ker}}\,B&\to &E&{\xrightarrow {B}}&E_{2}\\\bigcap &&||&&\downarrow C\\{\mbox{Ker}}\,A&\to &E&{\xrightarrow {A}}&E_{1}\end{array}}

Примечания

↑ Хелемский А. Я. Линейный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.
↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 159.
↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 227.
↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 228.

Литература

Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.. — М., 1976.
Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, перераб.. — М.: Наука, 1965. — 520 с.
Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.

Похожие исследовательские статьи

Функциона́льный ана́лиз — раздел анализа, в котором изучаются бесконечномерные топологические векторные пространства и их отображения. Наиболее важными примерами таких пространств являются пространства функций.

Теоре́мой Ха́на — Ба́наха называют несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа, в частности

Теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты;
Теорему о разделении выпуклых множеств;
Теорему о непрерывном или положительном продолжении линейного функционала.

Ба́нахово пространство — нормированное векторное пространство, полное по метрике, порождённой нормой. Основной объект изучения функционального анализа.

Двойственное пространство — пространство линейных функционалов на заданном векторном пространстве.

Компа́ктный опера́тор — понятие функционального анализа. Компактные операторы естественно возникают при изучении интегральных уравнений, а их свойства схожи со свойствами операторов в конечномерных пространствах. Компактные операторы также часто называют вполне непрерывными.

Лине́йная форма, лине́йный функционал — линейное отображение, действующее из векторного пространства $\text{[math]}$ над полем $\text{[math]}$ в поле $\text{[math]}$ . Условие линейности заключается в выполнении следующих двух свойств:

\text{[math]}

\text{[math]}

Теоре́ма Лу́зина — утверждение о необходимых и достаточных условиях измеримости функции одной вещественной или комплексной переменной. Согласно этой теореме, каждая измеримая на отрезке $\text{[math]}$ функция есть не что иное, как непрерывная функция, искажённая на некотором множестве сколь угодно малой меры. Это утверждение также часто называют $\text{[math]}$ -свойством.

Слабая сходимость в функциональном анализе — вид сходимости в топологических векторных пространствах.

Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке $\text{[math]}$ функции . Норма в этом пространстве определяется следующим образом:

\text{[math]}

Произво́дная Фреше́ — обобщение понятия производной на бесконечномерные банаховы пространства. Название дано в честь французского математика Мориса Фреше.

Альтернати́ва Фредго́льма — совокупность теорем Фредгольма о разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

В функциональном анализе замкнутые операторы — это некоторый важный класс неограниченных операторов, гораздо более широкий, чем класс ограниченных, то есть непрерывных, операторов. Замкнутый оператор не обязан быть определён на всём пространстве. Замкнутые операторы обладают достаточным числом хороших свойств для того, чтобы можно было ввести их спектр, построить функциональное исчисление и полную спектральную теорию. Важным примером замкнутых операторов являются производная и многие дифференциальные операторы.

Ба́наховой алгеброй над комплексным или действительным полем называется ассоциативная алгебра, являющаяся при этом банаховым пространством. При этом умножение в ней должно быть согласовано с нормой:

\text{[math]}

Анализ — объединение нескольких разделов математики, исторически выросшее из классического математического анализа и охватывающее, кроме дифференциального и интегрального исчислений, входящих в классическую часть, такие разделы, как теории функций вещественной и комплексной переменной, теории дифференциальных и интегральных уравнений, вариационное исчисление, гармонический анализ, функциональный анализ, теорию динамических систем и эргодическую теорию, глобальный анализ. Нестандартный анализ находится на стыке математической логики и анализа, применяет методы теории моделей для альтернативной формализации, прежде всего, классических разделов.

Нормальный оператор — линейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве, перестановочный со своим сопряжённым: $\text{[math]}$ . Частными случаями нормальных операторов являются самосопряжённые операторы: $\text{[math]}$ и унитарные операторы: $\text{[math]}$ . Для нормальных операторов выполняется спектральная теорема.

Обратный оператор к оператору $\text{[math]}$ — оператор, который каждому $\text{[math]}$ из множества значений $\text{[math]}$ оператора $\text{[math]}$ ставит в соответствие единственный элемент $\text{[math]}$ из области определения $\text{[math]}$ оператора $\text{[math]}$ , являющийся решением уравнения $\text{[math]}$ . Если оператор $\text{[math]}$ имеет обратный, то есть уравнение $\text{[math]}$ имеет единственное решение при любом $\text{[math]}$ из $\text{[math]}$ , то $\text{[math]}$ называется обратимым. Обратный оператор обозначается $\text{[math]}$ .

Положительный оператор в гильбертовом пространстве — линейный оператор $\text{[math]}$ такой, что $\text{[math]}$ для любого $\text{[math]}$ из гильбертова пространства. Для положительного оператора используют обозначение $\text{[math]}$ . Иногда нулевой оператор не относят к положительным операторам и пишут $\text{[math]}$ , если оператор $\text{[math]}$ — положительный, и $\text{[math]}$ , если $\text{[math]}$ — положительный или нулевой.

Конечномерный оператор — ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве, множество значений которого конечномерно.

Теорема об обратной функции даёт достаточные условия для существования обратной функции в окрестности точки через производные от самой функции.

Множество называется вполне ограниченным, если для любого положительного ε существует конечная ε-сеть для этого множества.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.