Теорема Блоха (комплексный анализ)

Теорема Блоха (комплексный анализ) — теорема о свойствах голоморфных функций. Теорема Блоха используется при доказательстве теоремы Ландау.

Формулировка

Какова бы ни была функция семейства $w=F(z)=z+a_{2}z^{2}+...$ , голоморфная при $|z|\leqslant R$ , существует круг плоскости $w$ с центром в некоторой точке, который взаимно однозначно отображается на некоторую область, лежащую внутри $|z|<R$ . Радиус этого круга не зависит от функции, то есть является зависящим только от $R$ .

Литература

Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е. — М., 1977.

Похожие исследовательские статьи

Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Конформное отображение — непрерывное отображение, сохраняющее углы между кривыми, а значит и форму бесконечно малых фигур.

Аналитическая функция вещественной переменной — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости $\text{[math]}$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

Аналитическое продолжение в комплексном анализе — аналитическая функция, совпадающая с заданной функцией $\text{[math]}$ в её исходной области C и определённая при этом в области D, содержащей C — продолжение функции $\text{[math]}$ , являющееся аналитическим. Аналитическое продолжение всегда единственно.

Мероморфная функция одного комплексного переменного в области $\text{[math]}$ — голоморфная функция $\text{[math]}$ в области $\text{[math]}$ , которая в каждой особой точке $\text{[math]}$ имеет полюс.

Вы́чет в комплексном анализе — объект, характеризующий локальные свойства заданной функции или формы.

Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна.

Интегральная формула Коши — соотношение для голоморфных функций комплексного переменного, связывающее значение функции в точке с её значениями на контуре, окружающем точку.

Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса — теорема комплексного анализа, описывающая поведение голоморфной функции в окрестности существенной особой точки.

Теорема Лагранжа об обращении рядов позволяет явно записать обратную функцию к данной аналитической функции в виде бесконечного ряда. Теорема имеет приложения в комбинаторике.

Теорема Римана об отображении — классический результат 2-мерной конформной геометрии и одномерного комплексного анализа.

В теории функций комплексного переменного в честь Ш. Э. Пикара названы две теоремы, традиционно называемые большая и малая теоремы Пикара.

Теорема Боголюбова «об острие клина» утверждает, что функция нескольких комплексных переменных, голоморфная в двух клиновидных областях с общим острием, на котором она непрерывна, является голоморфной и на острие. Данная теорема используется в квантовой теории поля для построения аналитического продолжения функций Вайтмана. Первая формулировка и доказательство теоремы были приведены Н. Н. Боголюбовым на международной конференции в Сиэтле, США и также опубликованы в монографии. Впоследствии другие доказательства и обобщения теоремы были приведены Йостом и Леманом (1957), Дайсоном (1958), Эпштейном (1960) и другими математиками. Важными применениями теоремы об «острие клина» являются: доказательство дисперсионных соотношений в квантовой теории поля, аксиоматическая квантовая теория поля, теория обобщённых функций, обобщение теоремы Лиувилля.

<span class="mw-page-title-main">Нуль функции</span> аргумент, при котором функция принимает значение нуль

Нуль функции в математике — элемент из области определения функции, в котором она принимает нулевое значение. Например, для функции $\text{[math]}$ , заданной формулой

\text{[math]}

Теорема Ландау — теорема о свойствах голоморфной функции: если $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ , есть голоморфная функция внутри круга $\text{[math]}$ , не принимающая значений $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , то имеет место неравенство $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ зависит только от $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ .

Неравенство Шоттки — утверждение о свойствах голоморфной функции. Используется при доказательстве теоремы Пикара.

Теорема Римана — Роха связывает комплексный анализ связных компактных римановых поверхностей с чисто топологическим родом поверхности g, используя методы, которые могут быть распространены на чисто алгебраические ситуации.

В комплексном анализе функция $\text{[math]}$ комплексной переменной называется

голоморфной в точке $\text{[math]}$ , если она дифференцируема в некоторой открытой окрестности
аналитической в точке $\text{[math]}$ , если существует некоторая окрестность точки $\text{[math]}$ , в которой $\text{[math]}$ совпадает со сходящимся степенным рядом

\text{[math]}

Теоре́ма Гу́рвица — утверждение в комплексном анализе, которое описывает связь нулей голоморфной функции с нулями последовательности.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.