Теорема Бондаревой — Шепли

В теории игр теорема Бондаревой — Шепли описывает необходимые и достаточные условия для непустоты ядра в кооперативной игре. В частности, ядро игры непусто тогда и только тогда, когда игра сбалансирована. Теорема была независимо сформулирована Ольгой Бондаревой и Ллойдом Шепли в 1960-х.

Теорема

Пусть дана кооперативная игра $\;\langle N,v\rangle \;$ , в которой $\;\;N\;$ — множество игроков, а функция полезности $\;v:2^{N}\to \mathbb {R} \;$ определена на множестве всех подмножеств $N$ .
Ядро игры $\;\langle N,v\rangle \;$ непусто тогда и только тогда, когда для любой функции $\alpha :2^{N}\setminus \{\varnothing \}\to [0,1],$ где
$\forall i\in N:\sum _{S\in 2^{N}:\;i\in S}\alpha (S)=1$
выполнено следующее условие:

\sum _{S\in 2^{N}\setminus \{\emptyset \}}\alpha (S)v(S)\leq v(N).

Литература

Бондарева О.Н. Некоторые применения методов линейного программирования к теории кооперативных игр // Проблемы кибернетики. Выпуск 10. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 119—139.
Kannai, Y (1992), "The core and balancedness", in Aumann, Robert J.; Hart, Sergiu (eds.), Handbook of Game Theory with Economic Applications, Volume I., Amsterdam: Elsevier, pp. 355—395, ISBN 978-0-444-88098-7
Shapley, Lloyd S. On balanced sets and cores (англ.) // Naval Research Logistics Quarterly^[англ.] : journal. — 1967. — Vol. 14. — P. 453—460. — doi:10.1002/nav.3800140404.

Похожие исследовательские статьи

А́лгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики; в этом разделе числа и другие математические объекты обозначаются буквами и другими символами, что позволяет записывать и исследовать их свойства в самом общем виде. Слово «алгебра» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под «алгеброй» понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.

Статистическая сумма — важная величина в статистической физике, содержащая информацию о статистических свойствах системы в состоянии термодинамического равновесия. Она является функцией температуры и других параметров, таких как объём. Многие термодинамические величины системы, такие как энергия, свободная энергия, энтропия и давление, могут быть выражены через статистическую сумму и её производные.

Лэ́мбовский сдвиг — различие между энергиями стационарных состояний $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ атома водорода и водородоподобных ионов, обусловленное взаимодействием атома с нулевыми флуктуациями электромагнитного поля. Экспериментальное изучение смещения уровней атома водорода и водородоподобных ионов представляет фундаментальный интерес для проверки теоретических основ квантовой электродинамики.

Кооперативная теория игр занимается изучением игр, в которых группы игроков — коалиции — могут объединять свои усилия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых коалиции неприемлемы и каждый обязан играть за себя.

Вириал $\text{[math]}$ для множества $\text{[math]}$ точечных частиц в механике определяется как:

\text{[math]}

С-ядро — принцип оптимальности в теории кооперативных игр, представляющий собой множество эффективных распределений выигрыша, устойчивых к отклонениям любой коалиции игроков, то есть множество векторов $\text{[math]}$ , таких, что:

Вектор Шепли — принцип оптимальности распределения выигрыша между игроками в задачах теории кооперативных игр. Представляет собой распределение, в котором выигрыш каждого игрока равен его среднему вкладу в благосостояние тотальной коалиции при определенном механизме её формирования. Назван в честь американского экономиста и математика Ллойда Шепли.

Супермодулярность — обобщение свойства выпуклости функций числового аргумента на функционалы, определённые на множествах произвольной природы.

Преобразование Лежандра для заданной функции $\text{[math]}$ — это построение функции $\text{[math]}$ , двойственной ей по Юнгу. Если исходная функция была определена на векторном пространстве $\text{[math]}$ , её преобразованием Лежандра будет функция, определённая на сопряжённом пространстве $\text{[math]}$ , то есть на пространстве линейных функционалов на пространстве $\text{[math]}$ .

Важным принципиальным вопросом теории дискретизации является вопрос об объёме дискретного описания сигналов, то есть о количестве $\text{[math]}$ базисных функций, используемых для представления:

\text{[math]}

Коэффициенты Клебша — Гордана находят применение при описании взаимодействия квантовомеханических моментов импульса. Они представляют собой коэффициенты разложения собственных функций суммарного момента импульса по базису собственных функций суммируемых моментов импульса. Коэффициенты Клебша — Гордана применяются при вычислении спин-орбитального взаимодействия, а также в формализме изоспина.

О́льга Никола́евна Бо́ндарева — советский математик; педагог, специалист в области теории игр. В честь О. Н. Бондаревой названа теорема Бондаревой — Шепли.

В данной статье рассматриваются различные формулировки и доказывается эквивалентность следующих предложений:

Аксиома выбора
Теорема Цермело
Принцип максимума Хаусдорфа
Лемма Цорна

Лемма Шепли — Фолкмана связывает две операции выпуклой геометрии — сложение по Минковскому и выпуклую оболочку. Лемма имеет приложения в ряде дисциплин, в том числе в математической экономике, оптимизации и теории вероятностей. Лемма и связанные с ней результаты позволяют дать утвердительный ответ на вопрос «Близка ли к состоянию выпуклости сумма нескольких множеств?».

В математике для данной комплексной эрмитовой матрицы $\text{[math]}$ и ненулевого вектора $\text{[math]}$ отношение Рэлея $\text{[math]}$ определяется следующим образом:

\text{[math]}

Монотонный оператор — оператор, удовлетворяющий условию монотонности. Понятие монотонного оператора является обобщением понятия монотонной функции. Широко применяется в функциональном анализе при исследовании и приближённом решении краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными.

Множество больших тригонометрических сумм — понятие теории чисел — множество индексов, в которых преобразование Фурье характеристической функции заданного подмножества группы принимает достаточно большие значения.

Лемма Шрайера — теорема из теории групп, использующаяся в алгоритме Шрайера-Симса. Теорема была доказана Отто Шрайером в 1927 году.

В теории многих тел термин функция Грина иногда используется как синоним корреляционной функции, но относится к корреляторам операторов поля или операторам рождения и уничтожения.

Спектральная мера - это отображение, определённое на $\text{[math]}$ -алгебре подмножеств заданного множества, значения которого являются ортогональными проекторами в гильбертовом пространстве.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.