Теорема Бохнера — Хинчина

Теорема Бохнера — Хинчина — в теории вероятностей: теорема о необходимых и достаточных условиях для того, чтобы функция была характеристической; в теории случайных процессов: теорема о свойствах корреляционной функции стационарных процессов.

Пусть ${\displaystyle \varphi (u)}$ - непрерывная функция ${\displaystyle u\in R^{n}}$ и ${\displaystyle \varphi (0)=1}$. Для того, чтобы функция ${\displaystyle \varphi (u)}$ была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательно определённой функцией, то есть при каждом целом ${\displaystyle m>0}$ для любых вещественных чисел ${\displaystyle u_{1},u_{2},...,u_{m}}$ и любых комплексных чисел ${\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{m}}$ выполняется неравенство ${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{m}\varphi (u_{i}-u_{j})z_{i}{\bar {z_{j}}}\geqslant 0}$^[1].

Здесь ${\displaystyle {\bar {z_{j}}}}$ означает комплексно сопряжённое к ${\displaystyle z_{j}}$ число.

Пусть ${\displaystyle \left\{\xi (t),t\in T\right\}}$ - стационарный в широком смысле процесс с корреляционной функцией ${\displaystyle B(t)}$^[2].

• Если ${\displaystyle \left\{\xi (t),t\in T\right\}}$ - скалярный процесс с дискретным временем, то:

${\displaystyle B(t)={\begin{cases}\int _{-\pi }^{\pi }e^{i\lambda t}dF(\lambda ),&{\mbox{в случае комплексного процесса}}\\\int _{0}^{\pi }\left[\cos(\lambda t)dC(\lambda )+\sin(\lambda t)dQ(\lambda )\right],&{\mbox{в случае действительного процесса}}\end{cases}}}$

где ${\displaystyle F(\lambda )}$ - неотрицательная неубывающая функция, определяемая по ${\displaystyle B(t)}$ однозначно, если потребовать, чтобы ${\displaystyle F(-\pi )=0}$ и ${\displaystyle F(\lambda )}$ была непрерывной справа, ${\displaystyle C(\lambda )}$ - действительная четная неубывающая функция ограниченной вариации, ${\displaystyle Q(\lambda )}$ - действительная нечетная функция ограниченной вариации.

• Если ${\displaystyle \left\{\xi (t),t\in T\right\}}$ - векторный процесс с дискретным временем, то для ${\displaystyle B(t)}$ имеет место представление как для скалярного процесса с дискретным временем, где ${\displaystyle F(\lambda )}$ - матрица, приращения которой ${\displaystyle F(\lambda _{1})-F(\lambda _{2}),\lambda _{1}\geqslant \lambda _{2}}$ эрмитовы и неотрицательно определены, ${\displaystyle C(\lambda )}$ - вещественная симметричная матрица, приращения которой ${\displaystyle C(\lambda _{1})-C(\lambda _{2}),\lambda _{1}\geqslant \lambda _{2}}$ неотрицательно определены, ${\displaystyle Q(\lambda )}$ - вещественная кососимметрическая матрица. Матрица ${\displaystyle F(\lambda )}$ определяется однозначно по ${\displaystyle B(t)}$, если потребовать, чтобы ${\displaystyle F(-\pi )=0}$ (нулевая матрица) и ${\displaystyle F(\lambda )}$ была непрерывной справа (в смысле поэлементной сходимости).

• Если ${\displaystyle \left\{\xi (t),t\in T\right\}}$ - скалярный процесс с непрерывным временем, то:

${\displaystyle B(t)={\begin{cases}\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\lambda t}dF(\lambda ),&{\mbox{в случае комплексного процесса}}\\\int _{0}^{\infty }\left[\cos(\lambda t)dC(\lambda )+\sin(\lambda t)dQ(\lambda )\right],&{\mbox{в случае действительного процесса}}\end{cases}}}$

где функции ${\displaystyle F(\lambda ),C(\lambda ),Q(\lambda )}$ определяются так же, как в случае скалярного процесса с дискретным временем, за исключением условия ${\displaystyle F(-\infty )=0}$.

• Если ${\displaystyle \left\{\xi (t),t\in T\right\}}$ - векторный процесс с непрерывным временем, то для ${\displaystyle B(t)}$ имеют место представления как в случае скалярного процесса с непрерывным временем, где матрицы ${\displaystyle F(\lambda ),C(\lambda ),Q(\lambda )}$ определяются так же, как в случае векторного процесса с дискретным временем, за исключением условия ${\displaystyle F(-\infty )=0}$ (нулевая матрица).

• Характеристическая функция случайной величины