Теорема Буземана о центральных сечениях

Теорема Буземана о центральных сечениях — теорема выпуклой геометрии о свойствах площадей центральных сечений симметричного выпуклого тела.

Теорема была доказана Буземаном в 1949 году, она имеет приложения в финслеровой геометрии.

Предположим, ${\displaystyle K}$ — выпуклое симметричное тело в ${\displaystyle d}$-мерном евклидовом пространстве с центром в начале координат. Рассмотрим тело сечений ${\displaystyle K}$, то есть тело ${\displaystyle L}$, ограниченное гиперповерхностью, которая образована всеми векторами вида

${\displaystyle \mathop {S} (K\cap u^{\perp })\cdot u,}$

где ${\displaystyle u}$ — единичный вектор, ${\displaystyle u^{\perp }}$ — гиперплоскость, проходящая через начало координат и перпендикулярная ${\displaystyle u}$, а ${\displaystyle \mathop {S} }$ — площадь, точнее ${\displaystyle (d-1)}$-мерный объём.

Тогда тело ${\displaystyle L}$ выпукло.

• В ${\displaystyle d}$-мерном нормированном пространстве, область гиперплоскости минимизирует ${\displaystyle (d-1)}$-мерную меру Хаусдорфа среди поверхностей с тем же краем.

• Busemann, Herbert. A theorem on convex bodies of the Brunn-Minkowski type (англ.) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. — 1949. — Vol. 35. — P. 27—31. — doi:10.1073/pnas.35.1.27. — PMID 16588849. — PMC 1062952.
• Gardner, Richard J. The Brunn-Minkowski inequality (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) : journal. — 2002. — Vol. 39, no. 3. — P. 355—405 (electronic). — doi:10.1090/S0273-0979-02-00941-2.