Теорема Гливенко — Кантелли

Теорема Гливе́нко — Канте́лли в математической статистике уточняет результат о сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу.

Формулировка

Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$ - бесконечная выборка из распределения, задаваемого функцией распределения $F$ . Пусть ${\hat {F}}$ - выборочная функция распределения, построенная на первых $n$ элементах выборки. Тогда

\lim \limits _{n\to \infty }\sup \limits _{x\in \mathbb {R} }\left|{\hat {F}}(x)-F(x)\right|=0\;

почти наверное,

где символ $\sup$ обозначает точную верхнюю грань.

В случае непрерывной функции распределения $F$ теорема была доказана советским математиком Гливенко. На случай произвольной функции распределения теорема обобщена итальянским математиком Кантелли. Оба результата опубликованы в одном и том же журнале в 1933 году.

Доказательство

Обозначим $D_{n}(\omega )=\sup _{x\in \mathbb {R} }\left|{\hat {F}}(x)-F(x)\right|$ . Так как обе функции распределения непрерывны справа, то значение в любой точке можно приблизить точками из рациональной окрестности $D_{n}(\omega )=\sup _{x\in \mathbb {Q} }\left|{\hat {F}}(x)-F(x)\right|$

Так как объединение счетного числа измеримых функций измеримо, то $D_{n}$ — случайная величина

Зафиксируем $N\in \mathbb {N}$ и положим $x_{N,k}=\inf \left\{x\in \mathbb {R} :F(x)\geq {\frac {k}{N}}\right\}$ . Легко заметить, что $x_{N,0}=-\infty ;x_{N,N}=\infty ;\forall k\in \{1,\dots ,N-1\}\hookrightarrow x_{N,k}$ конечно

Рассмотрим теперь $x$ на произвольном промежутке $[x_{N,k},x_{N,k+1})$ и оценим интересующую нас разность через значения на концах:

${\hat {F}}(x)-F(x)\leq {\hat {F}}(x_{N,k+1}-0)-F(x_{N,k})={\hat {F}}(x_{N,k+1}-0)-F(x_{N,k+1}-0)+F(x_{N,k+1}-0)-F(x_{N,k})\leq {\hat {F}}(x_{N,k+1}-0)-F(x_{N,k+1}-0)+{\frac {1}{N}}$

Аналогично прибавлением и вычитанием $F(x_{N,k})$ доказывается, что ${\hat {F}}(x)-F(x)\geq {\hat {F}}(x_{N,k})-F(x_{N,k})-{\frac {1}{N}}$

Получаем, что $D_{n}\leq \max _{1\leq k\leq N-1}\left(\max \left(|{\hat {F}}(x_{N,k+1}-0)-F(x_{N,k+1}-0)|,|{\hat {F}}(x_{N,k})-F(x_{N,k})|\right)+{\frac {1}{N}}\right)$

Теперь по следствию из УЗБЧ имеем ${\hat {F}}(x)\xrightarrow {\text{п.н.}} F(x),{\hat {F}}(x-0)={\hat {P}}((-\infty ,x))\xrightarrow {\text{п.н.}} P((-\infty ,x))\Rightarrow$ для достаточно больших $N\in \mathbb {N}$ и почти всех $\omega \in \Omega \hookrightarrow {\overline {\lim _{n}}}\sup _{x\in \mathbb {R} }|{\hat {F}}(x)-F(x)|{\stackrel {\text{п.н.}}{<}}\varepsilon \Rightarrow D_{n}(\omega )\xrightarrow {\text{п.н.}} 0$

См. также

Теорема Колмогорова.

Похожие исследовательские статьи

Математи́ческое ожида́ние — понятие в теории вероятностей, означающее среднее значение случайной величины. В случае непрерывной случайной величины подразумевается взвешивание по плотности распределения. Математическое ожидание случайного вектора равно вектору, компоненты которого равны математическим ожиданиям компонентов случайного вектора.

Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х, где х — произвольное действительное число. При соблюдении известных условий полностью определяет случайную величину.

Преобразование Фурье́ — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Де́льта-фу́нкция — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин, сосредоточенных или приложенных в одной точке.

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их исхода (появления).

Ле́мма Фату́ — техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей. Оно даёт одно из условий, при которых предел почти всюду сходящейся функциональной последовательности будет суммируемым.

$\text{[math]}$ — это пространства измеримых функций, таких, что их $\text{[math]}$ -я степень интегрируема, где $\text{[math]}$ .

Центра́льные преде́льные теоре́мы (ЦПТ) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы, имеет распределение, близкое к нормальному.

Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости. В теорию характеристических функций внесли большой вклад Ю. В. Линник, И. В. Островский, К. Р. Рао, Б. Рамачандран.

Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру.

Условное математическое ожидание в теории вероятностей — это среднее значение случайной величины при выполнении некоторого условия. Часто в качестве условия выступает фиксированное на некотором уровне значение другой случайной величины, которая может быть связана с данной. В этом случае условное математическое ожидание случайной величины $\text{[math]}$ при условии, что случайная величина $\text{[math]}$ приняла значение $\text{[math]}$ обозначается как $\text{[math]}$ , соответственно, ее можно рассматривать как функцию от $\text{[math]}$ . Эта функция называется функцией регрессии случайной величины $\text{[math]}$ на случайную величину $\text{[math]}$ и поэтому условное математическое ожидание обозначают как $\text{[math]}$ , то есть без указания фиксированного значения $\text{[math]}$ .

Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкция распределе́ния в математической статистике — это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

Теоре́ма Колмого́рова в математической статистике уточняет скорость сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу.

Вы́борочное (эмпири́ческое) сре́днее — это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него.

<span class="mw-page-title-main">Функция Хевисайда</span>

Фу́нкция Хевиса́йда — кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для положительных. В нуле эта функция, вообще говоря, не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениям, например:

\text{[math]}

Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна.

Важнейшими с точки зрения приложений характеристических функций к выводу асимптотических формул теории вероятностей являются две предельные теоремы — прямая и обратная. Эти теоремы устанавливают, что соответствие, существующее между функциями распределения и характеристическими функциями, не только взаимно однозначно, но и непрерывно.

Пространства Бесова $\text{[math]}$ — полные квазиметрические пространства функций, являющиеся банаховыми при 1 ≤ p, q ≤ ∞. Названы в честь разработчика — советского математика Олега Владимировича Бесова. Эти пространства, наравне с определяемыми похожим образом пространствами Трибеля — Лизоркина, являются обобщением более простых функциональных пространств и применяются для определения свойств регулярности функций.

В математике теория момента остановки или марковский момент времени связана с проблемой выбора времени, чтобы принять определённое действие, для того чтобы максимизировать ожидаемое вознаграждение или минимизировать ожидаемые затраты. Проблема момента остановки может быть найдена в области статистики, экономики и финансовой математики. Самым ярким примером, относящимся к моменту остановки, является Задача о разборчивой невесте. Проблема момента остановки часто может быть указана в форме уравнения Беллмана и поэтому часто решается с помощью динамического программирования.

<span class="mw-page-title-main">Интеграл Дирихле</span>

В математике существует несколько интегралов, известных как интеграл Дирихле, названные в честь немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле, один из которых является несобственным интегралом функции sinc по положительной действительной прямой:

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.