Ри́манова геоме́трия — раздел дифференциальной геометрии, главным объектом изучения которого являются римановы многообразия, то есть гладкие многообразия с дополнительной структурой, римановой метрикой, иначе говоря — с выбором евклидовой метрики на каждом касательном пространстве, причём эта метрика гладко меняется от точки к точке. Иногда, особенно часто в математической физике, под римановой геометрией подразумевают также и псевдориманову геометрию многообразий с псевдоримановой метрикой, например, геометрию пространства-времени специальной и общей теории относительности.
Эйлерова характеристика или характеристика Эйлера — Пуанкаре — целочисленная характеристика топологического пространства. Эйлерова характеристика пространства 
обычно обозначается 
.
Формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.
Многообра́зие — локально евклидово пространство.
Пространственная форма — связное полное риманово многообразие постоянной секционной кривизны 
.
Душа риманова многообразия 
— компактное тотально выпуклое тотально геодезическое подмногообразие, являющееся его деформационным ретрактом.
Теорема сравнения Топоногова — классическая теорема римановой геометрии в целом.
Неравенство Бишопа — Громова — теорема сравнения в римановой геометрии. Является ключевым утверждением в доказательстве теоремы Громова о компактности.
Теорема Майерса — классическая теорема в римановой геометрии.
Симметрическое пространство — риманово многообразие, группа изометрий которого содержит центральные симметрии с центром в любой точке.
Теорема о сфере — общее название теорем, дающих достаточные условия на риманову метрику, гарантирующие гомеоморфность или диффеоморфность многообразия стандартной сфере.
Обобщенная формула Гаусса — Бонне — интегральная формула, выражающая эйлерову характеристику замкнутого чётномерного риманова многообразия через его кривизну. Это прямое обобщение формулы Гаусса — Бонне на высшие размерности.
Коллапс — тип последовательности пространств, обычно римановых многообразий, которая существенно меняет локальную структуру при переходе к пределу.
Классификация Энриквеса — Кодайры — это классификация компактных комплексных поверхностей на десять классов. Для каждого из этих классов поверхности этих классов можно параметризовать пространством модулей. Для большинства классов пространства модулей хорошо проработаны, но для класса поверхностей общего типа пространства модулей слишком сложны для явного описания, хотя некоторые компоненты известны.
Теорема Римана — Роха связывает комплексный анализ связных компактных римановых поверхностей с чисто топологическим родом поверхности g, используя методы, которые могут быть распространены на чисто алгебраические ситуации.
Теорема об униформизации — обобщение теоремы Римана об отображении на двумерные римановы многообразия. Можно сказать, что теорема даёт наилучшую метрику в данном конформном классе.
Маломерная топология — направление в топологии, изучающее многообразия или, в более общем смысле, топологические пространства четырёх или менее размерностей. В частности, к направлению относятся структурная теория 3-многообразий и 4-многообразий, теория узлов и теория кос. Направление можно рассматривать как часть геометрической топологии.
